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I L Sl GN O R GIO ANDREA FER RA R I C O N T E DI B A GN VOLO P R E SI D E NT E , E GEN E RALE DI FINANZ E DI S. A. R. g ..: 3, - ILL vsT Rissº si GNOR S4 O NO queste mie carte per 2 v?cir alla luce ornate col i , nome di V S Illustri?s glo riando?i nel lor na?cimento d'e??er donate, e appropriate, di chi ?e ne ?uole, e ?e ne deue in tante occa?ioni sì degnamente?erutre; Per la cari ca, che tiene di Pre?idente, e Gene rale di Finanze di S. A. R. tutto quello?i muoue nella ?ua Real Ca?a tutto da lei riceue, ordine, e mi?ura, A 2 e ?i eh compa??a di ?uoi cenni, eo ella tanto bene modera questa machina, che non vi e mouimento di sfera sì perfettamente aggiustato, ne pro pre?sione Mathematica, che tanto regolatamente ?i promoua, come il vari Ministri della Ca?a Reale ?i di?pongono nelle loro fontioni per le i prudenti?sime applicationi, che fa | delle entrate Reali la ?ua mirabile prudenza. Quindi è che goda l' Aritmetica d'e??ere ?ua Va??alla, e ! ne vasti volumi de stipendi, e ?pe?e, i in cui tanto ?i profonde questa Cor te con tanta e?atezzagl'obbedilca, e in ?i bel compartimento ?i di?pen?i d ?uoi o??equi, che non vi èpur vno, che doler ?ipo??a, è della per?a, è del. l la differita mercede. Ma perche s. A R. difonde nelle fabriche lar. ghi?simi The?ori, ed ella anche di | questi è il primo amministratore, ?on ?icuro, che haura a caro di ve dere in queste mie carte doppo tanti i ?ecoli da Archimede ?in hora tra?, cor?i cor?i trouate à molte ?odezze, sia perfici più preci?e mi?ure, e ?oggetta ti anche quei corpi al compa??o, che ribelli sono?i vantati ?in hora del titolo d'immen?urabili: 65 irratio mali, e proterui, sdegnando ogni Geometra non hanno perme??o che gli s'accosti, se non appre?o a poco. Gli precederà dunque questo libro, qual Paggio, che porta la Torcia auanti al suo Signore nelle vi?ite che fara delle fabbriche sontuo?e in questo accrescimento di Torino di S. A. R. e regolando le maniere del misurare farà che venghi a più ve race cognitione della loro occulta grandezza, satisfacendo in ciò la piustitia, che ?opportaua mal vo lontieri d'hauer anche in questo bendati i lumi, e che rau?i ancora nel mede?imo punto a questa iste? ?a face quanto ?ia grande il de?io, che tengo di ?eruirla, mentre non potendo capir in me, m e conue- nuto stenderlo in vn libro, più A 3 pronto 6; | pronto stender?i all'opre , quando la fortuna mi fauori? e dei ?uoi ambiti cenni , per il che dedican domi doppo o??equio?si?ime riuerenze Resto. Div.s.ILLvSTRISS" Deuoti?s & Obligati?s. Seruo. D. Guarino Guarini C. R. Da Torinoli 22 Luglio 1674. A BENI 7, A BENIGNI LETTORI. ? Si Auendo nel no?troEuclide, e Nas nella ?ua appendice quadrate RS molte fuperfici, e cubatimolº corpi , de quali prima era ignota la quadratura, e cubatione, ma non hauen do ridotte quelle dottrine, benche molto vtili alla prattica, 8 v?o humano; perche appre??o a qualch vno non pare??ero pu ramente ?peculatiue, e folo appropriate à cono?cer il vero, non praticarlo, m'ha par?o bene per vrilità publica in que?to breue libro dar qualche ?aggio prattico di e??e, re?tringendomi ?olo a quello, che nell' v?o delle mi?ure , e ma??ime delle fabbriche po??ono feruire: Perche ?e bene nel no?tro Euclide tratto anche di trasformare, e partir le ?uperficii, e i corpi; pure non hò voluto augumentare que?ti fogli con quelle prattiche, che venendo rare volte in v?o poco accre?ce rebbono l'wtilità del libro, e non poco la ?pe?a, di chi l'haue??e à comprare. Se dunque trouerà il benigno Lettore co?a, A 3 chc 3 - che l'aggradi, la goderà flice, che ?e nò, e??endo poco il di?pendio, poca occa ?ione haurà d'attri?tar?i per hauerlo come prato, e ?empre ?eruira come molti al tri per accre?cere il numero, e la ?tima della ?ua libraria. Se incontrera qualche parola, la quale e??endo propria , non è però co?i v?itata nell'ordinaria forma di fauellare, non ho mancato nel fine d'aiutare l'intendimento di qualunque non e??ercitato ne termini Matematici, con ?piegarne il ?ignificato, 8 in tal modo renderlo obediente, e facile ali' v?o d'ogni ?tudio?o di que?t'arte, che ?e ne vogli cruire. s? 3, $. PREi l PRELV DIO All'Arte di mi?urare le fabriche. E R mi?urare le fabriche è nece??ario ?a per conti, e perche quelli, che compra ranno que?to libretto non ?iano obligati a comprarne vn'altro, che gli dia le regole di conteggiare , però ho ?timato nece??ario ag gi ongere al Tattato que?to breue Preludio, nel quale in?egnarò l Aritmettica non già profu?amente, ma ?olo quello, che ?arà ne ce??ario per metter in e??e cution: le regole» che in?egno; ?i come darò alcuni modi di mi ?urare più giu?tamente , che sia possibile, e anche porrò alcuni fondamenti delle pratti che, che deuo in?egnare. Quelli cioè, che hò trala?ciato nel no?tro Euclide ?tampato gl anni pa??ati, nel quale ?ono con euidenza prouari i fondamenti di que?te operationi, e chiaramente dimo?trati. - CAPITO Lo I. A E L modo di esercitare le prime i cinque regole d Aritmettica - - Le regole prime , e fundamentali s dell Aritmettica ?ono cinque, la prima di leggere i numeri ; la ?e conda di ?ommare, la terza di ?ottrare, la quarta di multiplicare , la quinta di partitº - e que?te ?piegherò breuemente in que?tº capitolo e - PRQi IG) P RoPosIT IoNE I. Saper leggere i numeri. Due co?e s'han da o??eruare ne numeri , l'Vna l'i?te??o numero, l'altra il luogo, oue ?i troua; perche ?e nel primo luogo alla de?tra ?ignifica vinità, nel ?econdo ?ignifica decine, nel terzo centinara, nel quarto milliara, nel quinto decine di milliara, nel ?e?to centinara di milliara, nel ?ettimo millioni, e co?i ?i tor ma da capo pigliando i millioni,e i millioni,di millioni,ò con altro nome duellioni, e co?i i trillioni, ºcc. per vnità, e quando nel luogo oue ?uole ?tar vin numero, ?i troua vn zero è ?egno, che in quel luogo non vi è alcuna proportione, che gli appartenga. Per e?em Pio, ?e ?ono 34o. vi ?ono trè cente?imi, qua tro decine , e ne??una vinità, ma in que?to 5o9. vi ?ono cinque cente?ime, niuna decina, e noue vnità ; co?i ?e ?i ?criua que?to numero rooo.?ignifica non vi e??er nè vinità,ne decine, ne centinara, ma ?elo milliara, e que?to non e??ere più che vno, e le cifre reruono per porlo nel quarto luogo, doue ?olo può ?igni ficar le milliara. Dunque per dar vita regola di leggere , ?i fara così. Sopra ogni terzo numero ?i porrà vn punto, comminciando dal primo, e ?o pra ogni terzo punto vn numero, che com minci dal terzo punto, e vada cre?cendo come vedi . - 2 I O 3456789òo76893. - - a - - - - - - Doue ?ono i numeri , ?ono millioni , è duellioni, è trillioni, è quadrioni & c.". O » I I do,che il numero ?ourapo?to è 1. è 2. è 3.ò 4. e doue ?ono i punti ?ono milliara, i primi d'vnità, i ?econdi di milliara, i terzi punti d'vnità di millioni, il quarto di milliara di millioni , così di duellioni , S&c Si leggerà donque così 34. trentaquattro duellioni 5. cinquecento 6 ?e??anta 7 ?ette milla , e 8. cento 9o non anta millioni, o76, ?ettanta ?ei milla, e 893. ottocento nonantatrè vnita , e così ?i leggerà ogni ?orte di numero. PR O P O SI TI O N E 2. Sommar i numeri. S hanno da collocar i numeri corri?pon dentemente à ?uo luogo; acciòche il numero del primo luogo non ?ia ?otto a quello del ?econdo, come vedi Si ?ommaranno donque i numeri 5 4.5 dell'i?te??o luogo congiongendoli 78o6 in?ieme,e ?e vi ?ono nel numero dell' 45 vnità di decine portandole al ?eco. 298oo do,di centinara,al terzo, di milliara ,3 - 38 I 96 al quarto . Donque ?otto tirata - vna linea, 6 andando all'insù, i numeri pri mi vniti in?ieme fanno 16. doue vi è vna de cina, che ?crittendo 6. ?i tra?porti al ?econdo luogo, e ?i annoueri con gi altri numeri e condi ?ignificanti decine, e fa uno 9. che ?i noti; perche non ?ono decine di decine, cioè cento , e però non ?i porti alcun numerº 5 come ?i farebbe, ?e fo??e per elempio 29 p rche critto, che hauerei il 9, tra?portarei il 2. Coume intrauiene nella terza ierie» doue i numeri viniti in?ieme fanno 21 per il che ?crivendo i fi tra porti 2 figº ?iante millia - I ) P RoPosITIoNE I. Saper leggere i numeri. Due co?e s'han da o??eruare ne numeri , l'Vna l'i?te??o numero, l'altra il luogo, oue ?i troua; perche ?e nel primo luogo alla de?tra ?ignifica vinità, nel ?econdo ?ignifica decine, nel terzo centinara, nel quarto milliara, nel quinto decine di milliara, nel ?e?to centinara di milliara, nel ?ettimo millioni, e co?i ?i tor ma da capo pigliando i millioni,e i millioni,di millioni,ò con altro nome duellioni, e co?i i trillioni, ºcc. per vnità, e quando nel luogo oue ?uole ?tar vn numero, ?i troua vn zero è ?egno, che in quel luogo non vi è alcuna proportione, che gli appartenga. Per e?em Pio, ?e ?ono 34o. vi ?ono trè cente?imi, qua tro decine , e ne??una vinità, ma in que?to 5o9. vi ?ono cinque cente?ime, niuna decina, e noue vnità ; coti ?e ?i ?criua que?to numero rooo.?ignifica non vi e??er nè vinità,ne decine, ne centinara, ma ?olo milliara, e que?to non e??ere più che vno, e le cifre reruono per porlo nel quarto luogo, doue ?olo può ?igni ficar le milliara. Dunque per dar vina regola di leggere , ?i fara così. Sopra ogni terzo numero ?i porrà vn punto, comminciando dal primo, e ?o pra ogni terzo punto vn numero, che com minci dal terzo punto, e vada cre?cendo come vedi . 2 I O 3456789do76893. - - - - - - - Doue ?ono i numeri , ?ono millioni , o duellioni, è trillioni, o quadrioni & c.º". O » I r do,che il numero ?ourapo?to è 1. è 2. è 3.ò 4. e doue ?ono i punti ?ono milliara, i primi d'vnità, i ?econdi di milliara, i terzi punti d'vnità di millioni, il quarto di milliara di millioni , così di duellioni , S&c Si leggerà donque così 34. trentaquattro duellioni 5. cinquecento 6 ?e??anta 7 ?ette milla , e 8. cento 9o non anta millioni, o76, ?ettanta ?ei milla, e 893. ottocento nomamtatrè vnita , e così ?i leggerà ogni ?orte di numero. PR O P O SI TI O N E 2. Sommar i numeri. S hanno da collocar i numeri corri?pone dentemente à ?uo luogo; acciòche il numero del primo luogo non ?ia ?otto a quello del ?econdo, come vedi Si ?ommaranno donque i numeri 5 4 5 dell'i?te??o luogo congiongendoli 7806 in?ieme,e ?e vi ?ono nel numero dell' 45 vnità di decine portandole al ?eco. 298oo do,di centinara, al terzo, di milliara 38196 al quarto . Donque ?otto tirata - vna linea, S andando all'insù, i numeri pri mi vniti in?ieme fanno 16. doue vi è vina de cina, che ?crittendo 6. ?i tra?porti al ?econdo luogo, e ?i annoueri con gi altri numeri e condi ?ignificanti decine, e fa uno 9 che ?i noti; perche non ?ono decine di decine, cioè cento , e però non ?i porti alcun numerº 5 come ?i farebbe, ?e fo??e per elempio 29 p rche critto, che hauerei il 9, tra?portarei il 2. Coume intrauiene nella terza ierie» doue i numeri viniti in?ieme fanno 21 per il che lctiuendo i ?i tra porti 2. ?ignificante millia - - 12 - milliara, e s'vni?ca con l'altro 9 e 7, che è nel 5. luogo, e fà 18. milliara, e ?i ?criva l'8. Smà ?i tra?porti l' 1. che ?ignifica decine di milliara , 8, 1. s'vni?ca col 2. vltimo, e viene 3. decine di milliara ; ?i che tutto il numero ?ommato fà 38196. º PRO P O SITI ONE 3. Sottrar i numeri l'Vn dall'altro. Per ?ottrare i numeri bi?ogna collocare il minore ?otto al maggiore cominciando dalla de?tra ; in tal modo, che nel luogo corri? pondino, e perche più d'una volta auiene; che tutto il numero da ?ottrar?i ?ia a??oluta mente minore; mà, che i numeri corri?pon denti ne luoghi in e??o ?iano maggiori; come G78. è minore, che 2257. mà i numeri però corri?pondenti a luoghi nel primo ?ono maggiori; per e?empio il primo 3. è più che 7. primiero dell'altro, il ?econdo 7. è più che 5. ?econdo dell'altro, S&c. Però per far, che il numero d'onde ?i detle ?ottrare; anche ne luoghi particolari ?ia maggiore, dourà pren der?i in pre?tito vina decina dall'antecedente, e ?i farà così. Sia donque da ?ottrar?i 434o 483. da 434o. Di?po?ti i numeri corri?- 483 pondenti a luoghi, e tirata vna linea, - voglio leuar il 3 dal ?uo ?uperiore,e 3857 trouo,che non vi è numero, ma vn zero, don que prendo vna decina dal ?eguente, e ?econ do 4. e co?i dico, che 3. Ieuato da 1o. re?ta 7° ino il 7. e perche ho leuato vna decina già più non è 4. mà 3, e però vedo ?e 8. o ?i può leuar dal ?econdo 3 eperciº può, accre?ca?i il 3. ?econdo º" I decina leuata dal terzo, e faccia 13. edicº 8. leuato dal 13. re?ta 5. ?criuo donque il 5. e perche dal numero terzo ?uperiore, che é 3. hò leuato Vna decina, re?ta 2. dal quale dou rei leuare il 4, inferiore, ma non ?i potendo di nouo leuo dal antecedente 4. vma decina, & accre?co il 2 che è re?tato, e fà 12, dal qual leuo il 4 e re?ta 8. e perche non vi è più nu mero inferiore il 4 ?uperiore re?ta 3. che ?cri. uo, e co?i 434o leuato 483 re?ta 3857- - PRO P O SI TI O N E 4. Multiplicar i numeri. Il multiplicar non è altro, che prendere tante volte vn dato numero, quante vinità ?ono nell'altro; onde bi?ogna ?apere quanto almeno i primi 1e. numeri multiplicati frà ?e producono, che ?i potrà ?aper dalla ?eguente tauola; perche pre?o il numero da multipli car?i in fronte, e il multiplicante da parte, nel commune concor?o de quadretti ?i ?a prà qual numero con la loro ?cambicuole multiplicatione ?i generi - già i. - - - - - - - I| 2 | 3 | 4 5 6 7 8 9 l Io l-i - - - - --- , - - - - - - - - - - - - 2| 4 | 6 | 8 I o I 2 | I 4 | I 6 I 3 2O - i - - - - - - - - - - - - - - - i -- v- -a 3, 6 | 9 | I 2 15 | 18 | 21 | 24 i 27 | 3o - - - - i -- - - - - - - - - 4 8 12 | 16 i 2o | 24 Es 32 | 30. 5 o 1 o 23 | 3o | 33 | o | 45 5o I : 1 8 | 24 | 3 o | 36 42 48 54 6o 71 4 2 I | 28 | 35 | 42 39 so 65 - O si 6 24 | 32 | 4O 3s 36 C. 22. Tso 9 27 36 43 34 63 |72 3 - - o ?º io s- - - - - - - - t- - -e 5o | 6o | 7o se 55 4 o l OO Si porrà donque il numero multiplicante ?otto il numero da multiplicar?i corri?pon dentemente al luogo, cominciando dalla de ?tra, come vedi, e tirata vna linea ?i comin ciarà dal primo inferiore, che è 7. e 143 o2 ?i vedrà, qual numero produca, mul- 947 tiplicando il 2. ?uperiore à lui,e gene- -- – ra 14. il quale è numero, che occupa 1 oo I 14 due luoghi; pero ?i ?criuerà il primo 4. al pri mo luogo, e l' 1 ?i con?eruerà nella mente per metterlo al ?econdo luogo. Multiplico dunque il ?econdo ?uperiore, e vedo, che non vi è numero da multiplicare, perche vi è vin zero, onde non hò altro che fare, ?e non ?criuere quella vnità, e far l'- i?te??o del terzo 3. e multiplicarlo per 7. e ge nera 21 ?criuo donque l' I. e con?eruo il 2. per metterlo con i numeri della ?eguente multiplicatione. Multiplico d'indi il 7. per il quarto numero, e fà 28. e col 2. conleruato 1 fà 3o. ?criuo donque l'o. e con?eruo il 3. i tiplico finalmente l' 1. per 7. e fa 7. e con l'al tro. 3. con?eruato fà Io tcriuo donque il 1o. e già tutto il numero 14;o2 è multiplicato per 7. Bi?ogna donque hora multiplicarlo per il ?eguente 4- e ?i multiplicherà all'i?te??o modo; mà in ?cambio di cominciar dal pri mo luogo per e??ere que?to numero del ?e condo luogo, ?i cominciarà a ?criuere dall' - i?te??o ?econdo come vedi,multipli- 143o2 cando, prima il 2 per 4. e fà 8. che 947 ?critmo,nè con?eruo nella mente al- - cun numero,perche non vi è nume- :: ro ?econdo: onde lo ?crituo nel ?e- 128713 condo luogo, e perehe il zero ?e - guente non è numero ; mà ?olo 13543994 po?to iui per mantener il luogo, e fare , che i ?eguenti ?iano nel ?uo proprio po?to, però non hauendo, che multiplicare ?critto o e co?i vado multiplicando gli altri ; E final mente finito que?to prendo il terzo 9. e mul tiplico come prima; mà nel ?criuere comincio dal terzo luogo, e così ponendo l'Vn ?otto l'altro faccio, come vina ?cala di numeri, i quali poi ?ommo nel modo in?egnato , e quella ?omma, che è di 13543994. è il nume ro generato dalla multiplicatione di 143o2 Per 947e - PRO P O SI TI O N E 5. Diuidere i numeri. Sia da diuider?i il numero 568o. per 237. po?to il numero diui?ore 237 da parte, ?opra lui tiro vera linea , come vedi, e poi 2 29 comincio a vedere quante volte l'Vl- 237 timo numero 2 del diui?ore 237 ca- . pi?ce - 16 pi?ce in 5. vltimo di quello, che ?i di- 5686 uide, e vedo, che due volte; ma non 474 ba?ta que?ta con?ideratione, e bi?ogna --- anche vedere , ?e gl'altri capitcono 94o altretante volte in quel che re?ta , e 711 benche ba?ti per il più veder ciò del – er ultimo 3 ?e capi?ce in quel , che 229 re?ta dal vltimo di quello, che ?i diuide vni to al penultimo del mede?imo; nulla di meno può occorrere, che s'habbi ad hauer ri?guar do anche tal volta all'antepenultimo 7. mà ciò ben rare volte. Vedo donque, che il 2. capi?ce nel 5, due volte, e che vi re?ta vina vnità, che col ?eguente penultimo fà 16. nel quale il penultimo del diui?ore 3. capi?ce due volte, e più , ma non importa, purche non capi?ca meno. Laonde crino 2 ?opra la li nea, chc ?i chiamarà Quotiente, e poi multi plico conforme la precedente tutto il nume ro 237. per que?to 2. po?to ?opra la linea; e perche ?ono tre numeri 237 ?criuo ?otto l' antepenultimo 3. cioèil terzo, cominciando à ?ini?tra, e faccio 474 da ?ottrar?i da 568. e re?ta 94. meno che 237. che ?e re?ta??e eguale, è maggiore ?arebbe ?egno , ch'il numero Quotiente po?to ?opra alla linea 2 doueua e??er pre?o più grande, e che l'operatione ?i dcue rifare. Può anche auenire, che l'Vltimo del diui?ore non capi?ca nell' vltimo numero da diuider?i, per e?empio, ?e il numero da di uider?i fo??e ?tato 168. il 4, non ?arebbe capi to nell 1. & all'hora ?i dotaranno pigliare due numeri per vno, cioè l'ultimo, e penul timo, che è 16. e vedere all' hora quante vol te vi cap ?ce l'vltimo del diui?ore con i me de?imi riguardi al penultimo, 6 anche Soc CO TIC 17 corre all'antepenultimo, in que?to ca?o il 2. nel I 6 ?arebbe capito non 8. mà 7. volte per dar luogo al penultimo 3. d'entrare anche lui altretante volte nel re?iduo. L' itetia operatione ?i farà per diuidere il numero, che è re?tato, ma perche è meno, che il drui?ore , lara nece??ario accre?cerlo con vn numero pigliato dal numero, che shà da diuidere, che viene appre??o, e non è ?tato anche con?iderato, per e?empio il o, il quale aggiongo a 94 farà, che quel numero ?ia 94o maggiore del 237. diui?ore; Che ?e à ca?o, come puol auenire non fo??e maggiore, o almeno eguale, come ?e fo??e ?tato 14o all' hora ?i dourà porre appre??o al 2. quotiente vn o. che ?ignifica non vi e??er luogo di diui ?ione, e al re?iduo s'aggiongerà vn'altro nu mero di quello, che ?i diuide ; mà nel no?tro e?empio non ?uccede co?i, e vi è luogo, che l'vltimo del diui?ore 2. capi?ca nell' vltimo del re?iduo augumentato 94o quatro volte, & anche il penultimo 3. capisce in quel, che re?ta 14o altretante volte; però appre?to al Quotiente 2. icriuo il Quotiente 4. e poi con que?to 4 multiplico il diur?ore 237, e fà 948. ma perche, è venuto in fine l 8 di più , é è più 948. che 94o. però hò fallato, che in que ?to ca?o fi doueua hauer riguardo all'ante penultimo, e bisogna nel quotiente ?criuer 3. e poi multiplicar all'i?te??o modo, e farà 71 1. che è numero minor che 94o. e però lo ?ottra go da 94o e re?ta il numero 229. che ?critto, come rotto pre??o il Quotiente, mettendo il diui?ore ?otto vna linea, e que?to re?iduo ?o pra e??a, e vuol dire, che le haue??ivna co?a intiera, che naue??e 237. parti, di quelle ?e B Iº e 18 nè douerebbono prender per cia?cuno 229. ?i che fe il numero 568o dato da diuider?i ?arà per e?empio di ducatoni da di?tribuir?i a 237. ?oldati, ne toccaranno a cia?cuno 23. e poi di cia?cun ducatone, che re?ta ?e ne douran no fare 237. parti, e dare a ciacun ?oldato di quelle parti 229. e co?i ?arebbono di?tri buiti egualmente à tutti 568o ducatoni. PR OPO SI T 1'ONE 6. E??aminar le precedenti operationi ?e ?iano fatte bene. Le due prime, che è il ?ommare, & il ?ot trare più facilmente ?i fanno con il replicarle vna, è due volte, e la ?ottratione ?i può più facilmente fare con ?ommare in?ieme il nu mero, che ?i ?ottrahe, con quello, che re?ta, evedere ?e fà l'i?te??o numero di prima; che ?e ?i produce l'i?te??o, la lottratione è ben fat ta. Per e??ermpio ?ottrago 36. da 49. re?ta 13 Voglio prouare ?e ho fatto bene, congiongo il 36. col 13- fa 49. come era prima , dunque la ?ottratione è buona, L'altre due regole di diuidere, e multipli care ?i ponno anche prouar l'vna per l'altra; mà è laborio?a la proua; perche l'operationi i?te?ie ?on laborio?e : Onde gl'Aritmetici hanno trouato la regola, che ?i chiama del Noue, & io la prouo Trat. 8. p. 28 e 29 del no?tro Euc & ?i fa co?i nella multiplica t1OI) C • Per e??empio vogliamo ?apere, ?e 143o2. multiplicato per 947. faccia 13.543994. ?om mo in?ieme tutti i numeri del numero multi Plicante 947. e getto via tutti li 9. che vi ponno I9 ponno capire, e re?ta 2. e fatta vna croce ?criuo 2. da vna parte come ve - di . L'i?te?o faccio del multiplicato 2 ,e 14; o2 e re?ta I e que?ti multiplico 1 2 in?ieme gettando pur li 9. ?e vi ?ono, aN e il re?to ponendo ?opra la croce, e nel no?tro e?empio fa 2. che ?criuo ?opra , vedo dunq"e ?e fatto l'i?te??o nel numero generato 1354; 994. rie?ce l'i?te??o re?iduo 2. e perche rie?ce lo pongo ?otto la croce , e dico che il numero è ben diui?o. La diui?ione ?i proua all'ifte??o modo. Per e?empio prima ?i ?omma il diui?ore della precedente dui?ione 237. gettando I li 9. tutto quello ?i può, re?ta 3. che ?criuo da vna parte della croce , e 3 3 poi ?ommo pure il Quotiente gettan- l do tutti li 9. ?e vi fo??ero, e fà 5. che ?criuo dall'altra parte,e que?ti multiplico in?ieme,e fanno 15 e gettato il 9, re?tano 6. che congiò go col re?iduo 229 e gettati i 9. re?ta 1. che ?crito ?opra alla croce. Vedo dunque ?e fatto l'i?te?o nel rumero diui?o 568o. e ?ommato, e gettati li 9 re?ta I. come re?taua prima, che ?critto ?otto la croce, e dico , che il numero, è ben diuito; perche rie?cono eguali l'Vno, c laltro numero ?opra, e ?otto la croce. CAPITOLO 2: Della regola delle proportioni La regola delle proportioni, è Aurea, è del trè che ?i dica, è nece??aria in que?to bre ue trattato , benche non con tutta la ?ua e?tentione, perche non è nece??aria, accom pagnata co'i rotti, nè riaer?a, ne compo?ta - 2, Onde I 2 - milliara, e s'vni?ca con l'altro 9 e 7, che è nel 5. luogo, e fà 18. milliara, e ?i ferita l'8 Smà ?i tra?porti l' 1, che ?ignifica decine di milliara , & I. s'vni?ca col 2. vltimo, e viene 3 decine di milliara; ?i che tutto il numero ?ommato fà 38196. PRO P O SITI ONE 3. Sottrar i numeri l'Vn dall'altro. Per ?ottrare i numeri bi?ogna collocare il minore ?otto al maggiore cominciando dalla de?tra ; in tal modo, che nel luogo corri? pondino, e perche più d'wna volta auiene; che tutto il numero da ?ottrar?i ?ia a??oluta mente minore; ma, che i numeri corri?pon denti ne luoghi in e??o ?iano maggiori; come 678. è minore, che 2257. mà i numeri però corri?pondenti a luoghi nel primo ?ono maggiori; per e?empio il primo 8. è più che 7. primiero dell'altro, il ?econdo 7. è più che 5- ?econdo dell'altro, S&c. Però per far, che il numero d'onde ?i detle ?ottrare; anche ne luoghi particolari ?ia maggiore, dourà prem der?i in pre?tito vina decina dall'antecedente, e ?i farà così. Sia donque da ?ottrar?i 434o 483. da 434o. Di?po?ti i numeri corri?- 483 pondenti a luoghi, e tirata vna linea, - voglio leuar il 3. dal ?uo ?uperiore, e 3857 trouo,che non vi è numero, ma vn zero, don ue prendo vina decina dal ?eguente, e ?econ o 4. e co?i dico , che 3. Ieuato da Io, re?ta 7. e ?criuo il 7. e perche ho leuato vna decina dal 4- già più non è 4. mà 3. e però vedo ?e 8. ?econdo ?i può leuar dal ?econdo 3. e perche non ?i può, accre?ca?i il 3. ?econdo s" vna CCI - - I 3 decina leuata dal terzo, e faccia 13. e dico 8. leuato dal 13. re?ta 5. ?criuo donque il 5. e perche dal numero terzo ?uperiore, che é 3. inò leuato Vna decina, re?ta 2. dal quale dou rei leuare il 4 inferiore, ma non ?i potendo di nouo leuo dal antecedente 4. vma decina, & accre?co il 2 che è re?tato, e fà 12, dal qual leuo il 4 e re?ta 8. e perche non vi è più nu mero inferiore il 4 ?uperiore re?ta 3. che ?cri. uo, e co?i 434o leuato 483. re?ta 3857. PRO P O SI TI O N E 4. Multiplicar i numeri. Il multiplicar non è altro, che prendere tante volte vin dato numero, quante vinità ?ono nell'altro;onde bi?ogna ?apere quanto almeno i primi 1e. numeri multiplicati frà ?e producono, che ?i potrà ?aper dalla ?eguente tauola; perche pre?o il numero da multipli car?i in fronte, e il multiplicante da parte, nel commune concor?o de quadtetti ?i ?a prà qual numero con la loro ?cambicuole multiplicatione ?i generi - - - ºi 5, 14 I 2 º-la 2 3 6 4. 8 | I 2 5, o I 5 l 2 IS g" 2 I Si t 6 - - - 9 º 27 idº º º Si porrà donque il numero multiplicante ?otto il numero da multiplicar?i corri?pon dentemente al luogo, cominciando dalla de ?tra, come vedi, e tirata vna linea ?i comin ciarà dal primo inferiore, che è 7. e 143o2 ?i vedrà, qual numero produca, mul- 947 tiplicando il 2. ?uperiore à lui,e gene- -- – ra 14, il quale è numero, che occupa 1oo II4 due luoghi; pero ?i ?criuerà il primo 4. al pri mo luogo, e l' 1 ?i con?eruerà nella mente per metterlo al ?econdo luogo. Multiplico dunque il ?econdo ?uperiore, e vedo, che non vi è numero da multiplicare, perche vi è vn zero, onde non hò altro che fare: ?e non ?criuere quella vnità, e far l' - i?te??o del terzo 3. e multiplicarlo per 7. e ge nera 21 ?criuo donque l' I. e con?eruo il 2. per metterlo con i numeri della ?eguente multiplicatione. Multiplico d'indi il 7. per il quarto numero, e fà 28. e col 2. concio à - - - I fà 3o. ?criuo donque l'o. e con?eruo il 3. i tiplico finalmente l' 1. per 7. e fà 7. e con l'al tro. 3. con?eruato fà 1o tcriuo donque il 1o. e già tutto il numero 14;o2 è multiplicato per 7. Bi?ogna donque hora multiplicarlo per il ?eguente 4- e ?i multiplicherà all'i?te??o modo; mà in ?cambio di cominciar dal pri mo luogo per e??ere que?to numero del fe condo luogo, ?i cominciarà a ?criuere dall' - i?te??o ?econdo comevedi,multipli- 143o2 cando, prima il 2 per 4. e fa 8. che 947 ?critmo,nè con?eruo nella mente al- 1ooTra cun numero,perche non vi è nume- 57" ro ?econdo: onde lo ?critto nel ?e- 128718 condo luogo, e perehe il zero ?e guente non è numero ; mà ?olo 13543994 po?to iui per mantener il luogo, e fare , che i ?eguenti ?iano nel ?uo proprio po?to, però non hauendo, che multiplicare ?critmo o e co?i vado multiplicando gli altri ; E final mente finito que?to prendo il terzo 9. e mul tiplico come prima; mà nel ?criuere comincio dal terzo luogo, e così ponendo l'Vn ?otto l'altro faccio, come vina ?cala di numeri, i quali poi ?ommo nel modo in?egnato, e quella ?omma, che è di 13543994. è il nume ro generato dalla multiplicatione di 143o2 Per 947e - PRO P O SI TION E 5. Di tuidere i numeri. Sia da diuider?i il numero 568o. per 237. po?to il numero diui?ore 237 da parte, ?opra lui tiro vra linea , come vedi, e poi 2 29 comincio a vedere quante volte l'Vl- 237 timo numero 2 del diui?ore 237 ca- . pi?ce - - 16 pi?ce in 5. vltimo di quello, che ?i di- 5686 uide, e vedo, che due volte; ma non 474 ba?ta que?ta con?ideratione, e bi?ogna --- anche vedere , ?e gl'altri capitcono 94o altretante volte in quel che re?ta , e 71 I benche ba?ti per il più veder ciò del – crultimo 3 ?e capi?ce in quel , che 229 re?ta dal vitimo di quello, che ?i diuide vni to al penultimo del mede?imo; nulla di meno può occorrere, che s'habbi ad hauer ri?guar do anche tal volta all'antepenultimo 7. mà ciò ben rare volte. Vedo donque, che il 2. capi?ce nel 5. due volte, e che vi re?ta vna vnità, che col ?eguente penultimo fà 16. nel quale il penultimo del diui?ore 3. capi?ce due volte, e più, ma non importa, purche non capi?ca meno. Laonde crino 2 ?opra la li nea, che ?i chiamarà Quotiente, e poi multi plico conforme la precedente tutto il nume ro 237. per que?to 2. po?to ?opra la linea; e perche ?ono tre numeri 237 ?criuo ?otto l' antepenultimo 3. cioèil terzo, cominciando à ?ini?tra, e faccio 474 da ?ottrar?i da 568. e re?ta 94. meno ch 237, che ?e re?ta??e eguale, è maggiore ?arebbe ?egno , ch'il numero Quotiente po?to ?opra alla linea 2 doueua e??er pre?o più grande, e che l'operatione ?i deue rifare. Può anche auenire, che l'Vltimo del diui?ore non capi?ca nell' vltimo numero da diuider?i, per e?empio, ?e il numero da di nider?i fo??e ?tato 168. il 4. non ?arebbe capi to nell 1. & all'hora ?i dotaranno pigliare due numeri per vno, cioè l'ultimo, e penul timo, che è 16. e vedere all'hora quante vol te vi cap ?ce l'vltimo del diui?ore con i me de?imi riguardi al penultimo, 6 anche soc C O TIC 17 corre all'antepenultimo, in que?to ca?o il 2. nel 16 ?arebbe capito non 8. mà 7. volte per dar luogo al penultimo 3. d'entrare anche lui altretante volte nel re?iduo. L' itetia operatione ?i farà per diuidere il numero, che è re?tato, ma perche è meno, che il diui?ore , tara nece??ario accre?cerlo con vn numero pigliato dal numero, che shà da diuidere, che viene appre??o, e non è ?tato anche con?iderato, per e?empio il o. il quale aggiongo a 94 farà, che quel numero ?ia 94o maggiore del 237. diui?ore; Che ?e à ca?o, come puol auenire non fo??e maggiore, o almeno eguale, come ?e fo??e ?tato 14o. all' hora ?i dourà porre appre??o al 2. quotiente vn o che ?ignifica non vi e??er luogo di diui ?ione, e al re?iduo s'aggiongerà vn'altro nu mero di quello, che ?i diuide ; mà nel no?tro e??empio non ?uccede co?i, e vi è luogo, che l'vltimo del diui?ore 2. capi?ca nell' vltimo del re?iduo augumentato 94o quatro volte, & anche il penultimo 3. capisce in quel, che re?ta 14o altretante volte; però appre??o al Quotiente 2. icriuo il Quotiente 4. e poi con que?to 4. multiplico il diur?ore 237, e fà 948. ma perche, è venuto in fine l 8 di più , 8 è più 948. che 94o. però hò fallato, che in que ?to ca?o fi doueua hauer riguardo all'ante penultimo, e bisogna nel quotiente ?criuer 3. e poi multiplicar all'i?te??o modo, e farà 71 1. che è numero minor che 94o. e però lo ?ottra go da 94o e re?ta il numero 229. che ?critto, come rotto pre??o il Quotiente, mettendo il diui?ore ?otto vina linea, e que?to re?iduo ?o pra e?a, e vuol dire, che ?e haue??ivna co?a intiera, che naue??e 237 parti, di quelle ?e B In e - 18 nè douerebbono prender per cia?cuno 229 ?i che fe il numero 568o dato da diuider?i ?arà per e?empio di ducatoni da di?tribuir?i a 237. ?oldati, ne toccaranno a cia?cuno 23. e poi di cia?cun ducatone, che re?ta ?e ne douran no fare 237. parti, e dare a cia?cun ?oldato di quelle parti 229. e co?i ?arebbono di?tri buiti egualmente à tutti 568o ducatoni. PR OPO SI T 1 ONE 6. E?aminar le precedenti operationi ?e ?iano fatte bene. Le due prime, che è il ?ommare, S il ?ot- - trare più facilmente ?i fanno con il replicarle vna, è due volte, e la ?ottratione ?i può più facilmente fare con ?ommare in?ieme il nu mero, che ?i ?ottrahe, con quello, che re?ta, evedere ?e fà l'i?te??o numero di prima; che ?e ?i produce l'i?te??o, la lottratione è ben fat ta. Per e??ermpio ?ottrago 36. da 49. re?ta 13 Voglio prouare ?e ho fatto bene, congiongo il 36. col 13 fa 49. come era prima, dunque la ?ottratione è buona. L'altre due regole di diuidere, e multipli care ?i ponno anche prouar l'wna per l'altra; mà è laborio?a la proua; perche l'operationi i?te??e ?on laborio?e : Onde gl'Aritmetici hanno trouato la regola, che ?i chiama del Noue, & io la prouo Trat. 8. p. 28 e 29 del no?tro Euc & ?i fa co?i nella multiplica t1O I) C e Per e??empio vogliamo ?apere, ?e 143o2. multiplicato per 947. faccia 13.543994. (om mo in?ieme tutti i numeri del numero multi Plicante 947. e getto via tutti li 9. che vi ponno I9 ponno capire, e re?ta 2. e fatta vina croce ?criuo 2. da vina parte come ve - di . L'i?te?o faccio del multiplicato 2 ,º 14; o2 e re?ta I e que?ti multiplico i 2 in?ieme gettando pur li 9. ?e vi ?ono, aN e il re?to ponendo ?opra la croce, e nel no?tro e?empio fà 2. che ?criuo ?opra , vedo dunque ?e fatto l'i?te??o nel numero generato 1 3 5 4; 994. rie?ce l'i?te??o re?iduo 2. e perche rie?ce lo pongo ?otto la croce , e dico che il numero è ben diui?o. La diui?ione ?i proua all'ifte??o modo. Per e?empio prima ?i ?omma il diui?ore della precedente diui?ione 237. gettando li 9. tutto quello ?i può, re?ta 3. che ?criuo da vma parte della croce , e 3 3 poi ?ommo pure il Quotiente gettan- l do tutti li 9. ?e vi fo??ero, e fà 5. che ?criuo dall'altra parte,e que?ti multiplico in?ieme,e fanno 15 e gettato il 9 re?tano 6. che congiò go col re?iduo 229 e gettati i 9. re?ta 1. che ?criuo ?opra alla croce. Vedo dunque ?e fatto l'i?te??o nel rumero diui?o 568o. e ?ommato, e gettati li 9 re?ta I. come re?taua prima, che ?critto ?otto la croce, e dico , che il numero, è ben diuito; perche rie?cono eguali l'Vno, e l'altro numero ?opra, e ?otto la croce. CAPITO LO 2: Della regola delle proportioni La regola delle proportioni, è Aurea, è del trè che ?i dica, è nece??aria in que?to bre ue trattato , benche non con tutta la ?ua e?tentione, perche non è nece??aria, accom pagnata co'i rotti, nè riaer?a, ne compo?ta - 2, Onde 2G) Onde per non e?tender?i in regole non nece? ?arie inlegnaremo e??a ?ola denudata da tutte le ?ue circon?tanze. Il fine poi di que?ta rego la è ; dati trè numeri cauarne il quarto pro portionale in tal modo, che co?i ?ia il primo al ?econdo, come il terzo al quarto, e però in?egnaremo in que?ta - PRO P o SITI o NE 7. Dati trè numeri trouar il quarto propor tionale. - Sian dunque dati trè numeri, e ?i cerchi vn quarto, al quale habbia tale proportione il terzo come ha il primo al ?econdo . Per e?empio 3- 15. 24. e ?i cerchi ?e g. dà 15. che daranno 24. ?i multiplichi 24. per 15 fà 36o. e ?i diuida que?to prodotto 36o. per 3. farà 12o e que?to è il numero che ?i richiede, per che 24 hà la mede?ima proportione à i2o. che 3. a 15. - CAPITOLO 3. Modo di cauar la radice quadra. Cauar la radice quadra è qua?i vn diuidere, e propriamente è vin cauare da vm numero vn'altro tale, che multiplicato per ?e ?te??o lo generi; per effempio, chi dal 144 caua??e la radice quadra ?arebbe 12. perche que?to numero multiplicato per 12 produce 144. PRO PRO POSITION E 3. 2 . d Cauar da qual?i?ia numero la radice qua I 2 - Sia dato il numero, dal quale ?i debba ca uare la radice quadra289. Si ponga vn ponto ?opra il primo alla de?tra, cioè ?opra del 9. e la?ciatone vno ?i ponga vin ponto ?opra il ter zo, e così negl'altri, ?e ve ne ?iano, ?empre s'hà dà la?ciar vin numero, e ?opra a quel, che ?egue porre v n ponto; poiche da que?ti nu meri pontati propriamente ?i caua la radice quadra: E prima vedo qual numero multi plicato in ?e ?te??o capi?ca nel numero ponta to ?ini?tro 2. pigliando il maggiore, che vi po??a capire, e vedo, che non capi?ce nel no ?tro e??ermpio più che 1. benche in altri nume ri potrebbe capir molto più per e??empio ?e fo??e 3289 capirebbe 5. percheil 5 multipli: cato in ?e fa 25. che capi?ce per il più che vi po??a capire nel 32 ?tando che, chi piglia??e vn numero più grande d'wna vnità , come 6. non vi capirebbe facendo il 6 in ?e multipli cato 36. numero maggior , che 32. E nota - che; ?e nel principio vi ?ono due figure di numero l'wno non pontato, e l'altro appre?o pontato, quei due ?i prendono º come vno per cominciar la ?ottratione. Per tornar dunque al no?tro e?empio l'1 è il ma??imo numero che po??a capir nel 2 e però lo pongo da parte ?eparandolo con ºnº iinea, e ?otto pongo 1. che multiplico per l'1 numero di ?opra, e fa 1. dà ?ottrar?i dal 2: pontato, e re?ta 189. Fatto que?to duplico il B 3 Illl Ill C 22 - e numero po?to da parte diui?o dalla 2 8 9 17 linea che è l'I. e fà 2 e vedo quan- 1 TT te volte capi?ce nel ?eguente nu- 2- - mero non pontato, e con l'antece- º 39 27 dente alla ?ini?tra , ?e vi è, che nel no?tro e??empio è 18. e capi?ce noue volte, ma quan te volte capi?ce il 2 e nell'8. tante ha dà capir nel re?iduo l'i?te??o numero delle volte multi plicate in ?e, E però perche il 2. nel 13 ca pi?ce 9. vo te, anche il 9 num ro delle volte predette multiplicato in ?e dette capir nel re?iduo 9. e perche non vi può capire deuo prender meno che 9, cioè 7 così il 2 capi?ce 7. volte nel 18- e re?ta 4. che col 9. dice 42 e il 7. multiplicato in ?e capi?ce nel re?iduo 49. e però appre??o all 1. ?criuo 7 & anche apre? ?o al 2. e poi multiplico 7. per 7. fà 49 ?criuo 9. e tengo il 4. e poi di nuouo multiplico 2. per 7. e fa 14 a cui aggiongo il 4 eruato da parte, e fa 18. che ?criuo pre??o il 9 - fa i 39. il qual numero ?ottrago dal re?iduo 189. e re?ta nulla. Perilche è ?ottrata la radice qua dra, che è 17. e perche non vi è rima?ta co?a alcuna; però concludo, che il numero era quadrato; che ?e fo??e rima?ta qualche co?a non era veramente quadrato. - Può dar?i il ca?o, che dal re?iduo 189. non s'h ane??e potuto cauar la radice, come ?e fo??e ?tato i 15. è 12o. il numero dato; perche ?ot trato l' 1. ?arebbe re?tato I 5. è 2o. Hor dupli cato il 2. non capi?ce nell' 1. non pontato, e te capi?ce, come nel 2o in cui capi?ce vna volta, non però nel re?iduo capitce alcuna volta, perche è o.. e per que?to, quando cio occorra, o ?ia nel mezzo, o ?ia nel fine, ?em pre ?i ponne vno. c dei re?tante ?i fa all'i?te??o modo» 23 modo, come habbiamo in?egnato. Per e?em pio ?e fo??e ?tato dato il numero 12o3 6. ?ot trata la radice quadrata 1. dal 2 non pontato del re?iduo 2o non po??o cauar la radice I. duplicata; cioè 2. e però pongo appre??o all 1. il o. & il re?iduo, che è 2o; . con?idero come prima, e vedo quante volte in lui capi?ce la radice duplicata 2o e vedo, che 9. volte, Sc il re?iduo è tale, che vi capi?ce anche il 9. noue volte, però pongo 9. pre??o la radice Io. e fa Io9. radice quadrata, è pre??o la radice duplicata 2o e fa 2o9. e poi multiplico 2o9. Per 9. e fa 1881, che ?ottrati da tutto il re?i duo 2o36 re?tano per numeri rotti 155. De quali s'ha da vedere, ?e ?iano più di quello contiene è nò; perche può e??er, che ancorche il conto ?ia fatto bene , non ?ia Però e?trata la radice quadrata, che ?i richie de, cioè la ma??ima, che po??a capire nel nu mero dato; ma qualch vna minore, e perciò ?i duplicara la radice quadrata e?trata, e si aggiongerà Iº come duplicato 1o9 e fatto 2 º aggiongendo i farà 219. ?e donque il re ?iduo ?ara 219 è più, tara ?ouerchio, onde la radice quadrata potrà e??er maggiore , che ?e è meno, come è nell' e?empio, ioue è ?olo 153 è ?egno, che la radice quadrata è la maf firma: e che per que?to capola radice quadra ta è ben ?ottrata. - PR O POSITION E 9. Prouar la radice quadrata. Que?to ?i farà facilmente, perche multipli ºººola per ?e ?te??a, e aggioagendo il ?uo º?iduo, ?e re?tò; ?e ?ommato tutto in?ieme B 4 re?ti r . - 24 re?titui?ce il numero primiero, e certo, che la radice quadrata è ben ?ottrata ma??ime, ?e già è certo per la precedente nel fine, che il re?iduo non ?ia ?tato touerchio . Per e?em Pio Io9. multiplicato in ?e fà i 188 I. a cui ag gionto il re?iduo 15s fa 12e36 come prima, dunque la radice quadra fà e?tratta bene. PRO P O SI TI O N E Io. Appro??imar?i alla radice quadra. Quando vin numero non ha radice quadra ta, perche non è quadrato, ?i può bene an dar?i acco?tando ad e??a, ma non ?i può gia mai e??atamente trouare, e ?olo ?empre ?i può hauer più, e più giu?ta. Per ottener dunque que?ta appro??imatio ne, ?i farà così - S'aggiongeranno al re?iduo del numero dato due zeri, è ?i ?eguirà a ?ot trare la radice quadra come prima, e poi il numero, che ne verrà, ?i porrà a modo di rot to ?opra alla linea , ?upponendo il 1o. ?ia per e??empio il re?iduo precedente 155. aggiongo due oo. fà 155oo. ?oprapongo va ponto al primo de?tro o.. e duplico la radice io9. e fà 2 18. e vedo quante volte capi?ce me numeri non pontati , e vedo , che capi?ce 7. volte, ?criuo donque il 7. pre??o la radice duplicata 218. fà 2.187. e multiplico que?to 7. con tutta la radice duplicata , cioè 2 187. per 7. e fà 15 o9. che fottrago dal re?iduo i 55oo e re ?ta per re?iduo 19 . e poi pongo predo la ra dice Io9. il 7. ritrouato ?opra il 19 con vna linea che li framezzi a qne?to modo io9 : : e ?ignifica, che la radicc e di parti 1o9 e ettº deci - - - - 2 decimi. Che ?e ?i vorrà più effata ?iserie pre?sº il re?iduo della radice quattro zifre, ma nel rotto in vece di dieci ?i porra 1oo vna i zifra di piu , e ?e ?i porranno 6. zifre pre?so il re?iduo , il denominatore s'accre?cera d'una zifra, e ?arà 1ooo. C A PiT O LO 4. Modo di quadrare , e cubicare ?econdo - alcuni pae?i Benche non ?ia per ?eruirmi di que?to mo do per e??er particolare d'alcuni Paesi, e che non ierue in ogni regola di mi?urare, ma ?olo in occa?ione d'hauer da mi?urare rettangoli, ò parallepipedi, cioè come muri di ?upefici piane, e non può seruir in ogni occa?ione di superficii, è corpi tondi, se prima non sono ridotti à qualche figura, è piana , o cuba, nulladimeno per e??er bella, 3 vsata come di??i in qualche luogo, e particolarmente quì in Piemonte, nè ho voluto dar le regole. P Ro eos IT IoN E 11. Ridur in piano qual?i?ia data misura - Diuidono la misura, e linea d mi?urare i Piemonte?i in trabucco, è pertica, che con?ta di piedi 6. & ogni piccie in 12. onze, S ogni onza in 12. ponti, 3 ogni ponto in 12. Atto mi. Horvna superficie piana pre??o di loro, che ?erue per mi?urare ogni altra maggiore ?uperficie, è vn quadrato, il quale habbi ogni lato d'wn trabucco; ma doue l'altre natio ai ?ubdiuidono que?to quadraro per h suer mi ?urc riù picciole in tanti piccioli quadrati larghia - 26 larghi, Sc alti quanto è la parte in cui ?i ?ub diuide il lato, e??i lo ?ubdiuidono in tanti ret tandogli longhi vn trabucco, e larghi, quan to è la parte, in cui ?i ?ubdiuide il lato - Per e?empio appre??o a Piemonte?i il piede piano e AC: rettangolo lungo vin trabucco, e largo vin piede, che è vina parte delle 6 in cui ?i ?ubdiuide il lato AD; la doue pre??o gl' altri AB è il piede, largo va piede , 6 alto vn piede, che è pur la 6. parte, in cui ?i diui de il lato AD; E così l'onza è la 72 parte del lato AD d'vn trabucco, è la 12 del lato AE d'vn piede longa, però vin trabucco, quanto è il lato AF, mà appre??o l'altre nationi l'on za è longa, quanto larga, cioè la 12. Parte d'vn piede come d'AE. Il ponto è la 12. d'vn' onza in quanto alla larghezza, o la 864 d'vn trabucco, e l'Attomo la 12. d'vn ponto, e la 1o368. d'vn trabucco, ma in quanto all'al tezza è la mede?ima,che di tutto il trabucco. i-F T B D E A La forza però della multiplicatione è tale, che quando ?i multiplica vna mi?ura per l'altra da tanti quadrati, che ?iano eguali, e dell'i?te??a altezza, e larghezza, e però vn frabucco multiplicato per il trabucco da tra bucchi quadri; piedi copiedi dapiedi quadri, OIAZG - 27 onze con onze, onze quadrate, e ?e ?ono di? uguali da tanti rettangoli , che per vin lato hanno vina mi?ura, per l'altro l'altra, come trabuchi per piedi daran piedi alti vn tra bucco, larghi vn piede, trabucco per onze rettangoli lunghi vn trabucco, larghi vin' onza , 6 c. mà ?e ?i multiplica piede per piede, e vogliamo intendere di piedi larghi vn pie de, lunghi vin trabucco, non ?i può. Ma per che Vn piede quadrato è onze quadrate 144. e l'onzalonga alla Piemonte?a vn trabucco contiene onze quadrate 72 Quindi è , che piede con piede faccia onze duplicate lunghe vn trabucco, perche in verita fa i 44 onze , che ridotte in rettangoli larghi vn'onza, alti vn trabucco ne fa due, poiche cia?cuna è 72 che duplicato compi?ce 144. E ?i multiplicano onze con onze fanno onze quadrate, e per che ogni onza quadrata contiene i 44. ponti» cioè Attomi 2o736. e l'onza lunga vin tra bucco Attomi io368. però perche vn onza quadrata fà al doppio d'Attomi, che l'onza longa; per que?to vin' onza multiplicata con vn onza fa Atromi doppij lunghi vin trabuc co , larghi vin Attomo. E l'i?te??a raggione è, ?e ?i multiplicano piedi con onze , perche º que?ta multiplicatione darebbe rettangoli alti vn piede, larghi vn onz ; ma conforme il ?enzo de' Piemonte?i vorrebbe efler l'onza alta vn trabucco, però alta ?ei volte di piu i Onde non puo generare onze; perche quelle non ?arebbono più alte d'un piede ; genera donque ponti duplicati, perche ogni ouza contiene 144 ponti, e pero vin' onza alta vin piede conterrà ponti 1728. una vn'onzalonga Vn trabucco è ponti º 64 la meta º, 1728e a ?ì – 23 dunque vin piede multiplicato per vin'onza fà ponti duplicati, cioè due rettangoli alti vra trabucco, larghi vin ponto. - E da que?ta dottrina ?i cauano le regole ?eguenti. - Trabuchi per Trabuchi fà Trabuchi Trabuchi per piedi fà piedi Trabuchi per onze fà onze Piede per piede fà onze doppie Piede per onze º ponti doppij Onze per onze a Attomi doppij E ?i multiplicano, come quì vedi nella ?e guente figura - P ER e?empio ?ia vin piano alto Tr. 2. P. 2. On. 7. per vn lato, per l'altro Tr. 7- P. 4: On. 9. ?i di?porranno i Trab. ?otto a ". cnia 29 chi, l'onze ?otto l'onze, e i piedi ?otto a piedi comue vedi , e tirata 2 2 7 vna linea ?i multipli- 3 4 9 caranno in?ieme co- - - me additono le linee 6 S 2 I 56 nella figura. Prima, i 6 I 3 36 I 26 trab. 2. con i trab. 3. I6 fanno i e poi -, con i piedi fanno pie i" 9 I 3 6 6 l'onze fanno onze 2 1. e 1s. e poi i piedi frà ?e fanno onze 3. duplicate, cioè 16. e poi con l'onze fanno ponti 18. e 28. duplicati, cioè 36. e 56. e poi l'onze frà ?e fanno Attomi doppij 63. eioè 126. Ma per ridurli, e ?om i marli ?i ?partiranno gl'Attomi per 12, e fa ranno 1o ponti con 6. di re?iduo, però ?eri uerò il 6. ?otto gl'Attomi, e porterò il 1o. e sömerò con e??o gl'altri ponti 56.36. e faranno 1oº- che diui?i per 12. faranno 8. onze con il re?iduo di 6 ?criuero donque 6 frà ponti, e porterò 8. trà l'onze, e lo ?ommerò con effe, e ?arà la ?omma onze 63. che farà diuita per 12. Piedi 5. col re?iduo d'onze 3. che ?critto portarò il 5. frà piedi, e ?ommaro con e??i, e farà piedi 19 che diuiderò per 6. e ?aranno 3. e re?tarà di re?iduo 1. ?criuo dunque 1.e porto li 3. frà trabucchi, e li ?ommo con li 6. tra bucchi,e ?aranno 9. Concluderò dunque,che quell'area , che ha per vm lato Tr. 2. P. 2. On.7. e per l'altroTr. 3. P. 4. On. 9. ?arà d' area, e ?uper?icie Tr 9. Piedi lunghi 1. Onze lunghe 3. ponti 6. Attomi 6, tutti rettangoli longhi vn trabucco. PRO 3 o so PRO P O SI TI ON E 12. Data vn'area, e l'altezza trouar la ?ua cu batione - Sia data vina ?uperficie come la precedente Tr. 9. P. 1. On. 3. (delli ponti,e delli Attomi non ?i fà più ca?o, perche ?ono minutie, che fanno quantita nell' operationi; ma come re ?idui ?ono ?prezzabili ) e ?opra a que?tº sin tenda alzato vin corpo alto Tr. 4 P. o On go. Si farà all'i?te??o modo come prima. 4 o Io 9 I 3 - 36 o 9o 2o 6o 4 I 2 o o - - - - - - - 33 o 8 1 o Et s'intende à que?to modo ; e prima in quanto a trabucchi s'intendono di trabucchi cubi, cioè, che quel corpo capirebbe 36 cor pi, de quali cia?cuno fo??e alto, largo, lungo vn trabucco . In quanto a piedi in que?to e?empio non ne habbiamo, ma ?e vi fo??ero cia?cun di e??i ?arebbe vn corpo lungo, e lar govn trabucco; mà alto ?olo vn piede: poi che ogni ?uperficie larga, e lunga vin trabuc co multiplicata per vin piede da vm corpo lungo e largo vn trabucco, alto vn piede multiplicato per vin'onza da vn corpo lungo, e largo vin trabucco, alto vn'onza; ma ?e ?i multiplicaranno piedi con piedi lunghi via trabucco, larghi vn piede daranno onze du plicate e 3 I plicate. Poiche ogni ?uperficie larga vin piede, lunga vin trabucco, multiplicata per vin piede r da vn corpo alto ?olo vin piede, ma largo vn piede lungo vin trabucco come era : ma per che vn piede quadrato è 144. onze, delle qua li vn'onza alta vn trabucco ?i è 72. però pie de, con piede multiplicato , ?i come fà vn piede in altezza , e però quella ?uper?icie, che ?i elleua ?opra il lato di oncie 12 qua drata,ne ha 144 così fà oncie due ?ocie, in al tezza, le quali pur anche ?ono 144. In tal mo do, che il corpo BA, e BD ?ono eguali per e??er tali le ?uperficii HA, & H D, per la 19. Tr. 1o. del no?tro Euclide per e??er HI di 2. onze all' HC di 12 come l'HC. 12. all'IA 72. Onde il quadrato HD re?ta eguale al rettan golo HA: e però anche i corpi ?opra e??i col locati BA, BD egualmente alti per la propo ?itione 4. 5 e 6 del 1 rattato34 dell'i?te??o. A Ti li B E l'i?te?a raggione è dell'onze, perche i piedi multiolicati per onze danno ponti duplicati, cioè corpi larghi, e lunghi vintra bucco, alti però due ponti, perche farebbono vn onza ?oda, alta vn piede, lunga va tra buco , larga vin' onza, cioè iº. poi mà 2 e --- 2 Hi &à HC 12. come CH è CD di vn piede, cioè di ponti 144 a IA di ponti 864. cioè via trabucco, dunque per la 18. del co. Tratt. del no?tro Euclide rara eguale il rettangolo HD largo vin onza, alto vn piede rettangolo HA largo ponti 2. alto vin trabncco, per il che per le propo?iti ni cittate anch'i corpi d'. egual altezza BA, e BD. E cosi s'argumenterà delle onze multiplicate per onze, che daran no Attomi duplicati; perche così è il lato lar go, due Attomi al lato alto vin onza; cioè 144. Attomi, come 144 a 1 o3 8. Attomi, che fanno vin lato d vn trabucco. onde il rettan golo fatto d'un lato di due Attomi é alto vn trabucco ?arà eguale ad vn quadrato d'vn' onza, e però anche i corpi po?ti ?opra di e??i dell'i?te?ia altezza. E perche nella multipli catione và co?i; ?ommati anche e ridotti s' intenderanno i trabucchi cubi, i piedi lunghi, e larghi vntrabucco, alti vn piede l'onze per corpi lunghi, e larghi vn trabucco, 6 alti Vn onza , Se poi ?i vorranno ridurre in mura, è gro? ?ezze di onze Io. ?i multiplicaranno i trabuc chi per 7. Tºz multiplicando prima il nume ro dato per e?empio I r. 38. per 7. e farà 266. e poi per 2 e fara 72. che diuio per lo fà 7 . . in tal modo, che ?aranno ?ommando 7 con 266 , r. 273. - Gro??i On. 1o. mà li piedi per I. - facendo nell'i?te??o modo, e ?i fanno piedi gro??i on. 1o Se ?i vorranno ri durre in muri, in gro?sezze d'onze 6 ?i multi plicaranno i tr bucchi per 12. S i piedi per 2. Se in muri d'onze 12, ?i multiplicaranno i trabucchi per 6. & i piedi ?i la?ciaranno così ?enza multiplicarli: ?icome anche in os" l 33 di quelle operationi l'onze mai ?i multipli Cd I a Il MAO - - CAPITOLO 4. - Propo?itioni, che ?eruomo di fundamento ad alcune regole di mi?urare. Qie?te ?ono propo?itioni, le quali ?uppli? cono al no?tro Euclide acre?ciuto, e ?tabi li?cono alcune dottrine iui non con?iderate, ò pure alcune propo?itioni, che erano ri?tret te a certo genere di ?uperfici, è di corpi le dilattano , e rendono più viniuer?ali - P RoP osIT IoNE 13. Se ?opravn cono obliquo , è elliptico ?i tira vna linea , cominciando dal lato più cor to ?ino alla metà più lunga, o dalla metà più corta, ?ino al lato più lungo, la quale ?ia equi di?tante dal vertice, l'area compre?a trà que ?ta, e le due linee mediocri nel cono ?caleno, ò più corte di tutte nel cono elliptico farà eguale al rettangolo fatto da vma di quelle, e la metà della circonferenza. Sia il cono ?caleno, è elliptico ABC, e nel cono elliptico s'elleghino le più corte linee IA AD , e nel cono ?egno le mediocri e le - piu ... 34 - - - più corte, e dà que?te ?i tiri per ?opra la ?u perficie del cono elliptico la IFp, o l'IHD equidi?tante dal vertice A, e nel cono ?cale no la IFD, e l'HBL equidi?tante pur dal ver tice A, dico, che il ?patio compre?o AIFD, è AIHD, o H BLA ?arà eguale ad vn rettan golo, che habbi per ba?e la metà della IFD, e dell'altre, & i lati ?iano quanto l'AD , o IA, cioè quanto la di?tanza della linea tirata IF D fino al vertice A. Per prouar la qual propo?itione, ?i diuida la linea DFI tirata equidi?tante dal vertice in quante parti parerà, e ?i tirino le linee rette dal verticc A, e per quelle s'intenda pa??are vna ?uperficie piana, come DAO, ?i che ?otto à triangoli curui , che fanno le linee rette de?cendenti dalla cima A alla curua DFI equidi?tante da lui , s'intendano triangoli piani compre?i dalle mede?ime linee, e dalle ba?i DO, & altre ?ubten?e alla curua predetta DFI. Cia?cun di que?ti triangoli piani ?arà eguale ad vn parallelogrammo, la cui altezza ?ia PA, e la ba?e ?ia la metà PD della DO: Hor ?e que?ti triangoli s'andaranno tanto multiplicando, che la retta DQ differi?ca in ?en?ibilmente dalla curua DO, come prouo auenire nel prea??unto del Tratt. 34. al princi pio; La PA terminara ?en?ibilmente nella curua DO, e ?arà eguale alla DA . . Per il che ogniuno di quei triangoli ?arà eguale ad vn parallelogrammo, che ?ia alto quanto DA, e largo quanto la metà della cur ua DO per la I. del no?tro Eucl. Tratt. 1o. Dal che ?egue , che anche tutto il patio IFDA con?tante di que?ti triangoli ?arà eguale ad vn rettangolo compre?o ?otto l'altezzafº. C la - 25 e la DF metà di tutta la curua IFD, che è quel lo, che ?i doueua prouare. PR OP O SI TI O N E 14. Se la ?ettione obliqua d'vn ?emicilindro elliptico ?arà circolare, e per il diametro ob liquo di e??o pa??arà pur obliquamente vin al tro piano, ?i verificheranno della ?uperficie intrapre?a da que?te due ?ettioni tutte quelle propo?itioni, che ?i verificono in vina ?uper ?icie d'vn cilindro circolare intrapre?a, come ?i è de?critto da vin circolo, che ?eghi retta mente , e da vn ellip?i, che ?eghi obliqua mente, e pa??i per vin diametro del mede?imo circolo, - Habbiamo po?to al Trattato 3 1. del no ?tro Euclide E pen? 2 alcune propo?itioni, che quadrato la ?uperficie d vn ?emicilindro tondo tagliato ad angoli retti da vin circolo, e tagliato di nuou o da vm'altro piano per trauer?o,3 obliquamente,che pa??i per il dia metro del circolo predetto; come ?arebbe la ?uperficie ABOC del ?emicilindro ABCEHG tagliato dal circolo ABC, ?e fo??e ad angoli retti, e dal piano ABO , che per la propo?i tione 22. tratt, 25 è ellip?i . 36 - Mà con?iderando poi più e?attamente l'hò trouate più viniuer?ali, e pre?upponendo, la cognitione d'e??e, quì ?olo intendo di mo ?trare, che ?i verificono anche, che la ?ettio ne circolare ?ia obliqua, come auiene in vin cilindro elliptico; cioè che habbi le bafi rette all'a??e, che ?iano ellip?i, o ouali, quando ?arà ?egato obliquamente in tal modo, che la metà KB del diametro ?ia eguale alla metà del a??e maggiore HF delli ellip?i della ba?e - La propo?itione ?i proua mo?trando, che ?i può fare la mede?ima in?crittione de triane goli, equiangoli, e paralleli, come in quel ca?o, e però tutto quello, che s'argomenta da quella in?crittione, ?i deue anche cauar da que?ta. Si facci dunque pa??are per la linea FK, che è l'a??e , vn piano normale al piano EG AB, e farà nel circolo ACB la ?ettione, e ?egno CK, nell'cilip?i BAO la CIK, e nclla ?uperficie del ?emicilindro la QC, e ?i formarà vn triango lo CKO. A que?to piano paralleli ?e ne facci no pa??ar delli altri, come LDN, & MIQ, e le ?ettioni ?aranno parallele per la 14.Tr. 22. e però ?aranno i triangoli equiangoli per la prop. 2. Tr. 1o. Di ?opra più quelli, che ?ono egualment?, di?tanti del centro K, e dal piano OCK ?a ranno eguali frà loro , perche il rettangolo AQ, QB, e al rettangolo AD, DB come il quadrato QI, al quadrato LD per e??er eguali ad e??i per la 35. 1 r. 6. e così il quadrato Q M al quadrato DN per la 6. prop. Tr. 24. ma i rettangoli AQ, QB, & AD, DB ?ono eguali, dunque anche i quadrati eguali Ql con LD , & MQ con DN; dunque anche i lati " CI 37 - Per il che e??endo paralelli, come quelli delle propo?itioni del Tr:31. E?pen? º equiangoli come quelli, eguali fra di loro, fe?ono equi di?tanti dal centro, come quelli, che hanno i lati l'Vno?emi d'vn circolo, come LD, & QI, l'altri applicate d'vma ellip? come ND, MQ 2. li terzi lati paralleli sù la iuperficie del cilin dro, ceme quelli, come IM, NL, pre?i, eti rati da vm circolo ACB, come quelli. Dun que tutto quello, che s'argomenta da quella in?crittione, ?i deue anche argomentare da ue?ta , che in altro non differi?ce, ?e non nell'obliquità del circolo , e conchiudere, come in quelle alla prop. 34. Tr. 3 i- che la ?uperficie curua AMONBC del ?emicilin dro ?ia eguale al rettangolo fatto dall'altezza OC, e dal diametro AB. PR O POSITIONE 15. Vn cilindro circolare tagliato a modo di cuneo per il diametro della ba?e di ba?i paral lele ?iano rette, è oblique, fà due ?uperfici, curue, l'vna delle quali è eguale al rettan golo compre?o dal ?emidiametro, e vin ?etti mo, e dall'altezza del cilindro . Sia il cilindro ADEF tagliato per il diame tro CBä modo di cuneo dai due piani CFB, & EBC, la?cierà la ?uperficie acuta ECF da due parti, della quale ?tiperficie io dico, che è eguale al rettangolo fatto dalla DF, o CG eguali, e dal ?emidiametro CH con la ?etti ma parte d'e?io - 38 p. - ! V º VT i Ng e Lo prouo.Tutta la ?uperficie ambiente il ci lindro è eguale al rettangolo compre o dalla circonferenza AB DCA, & dall'altezza FD, l cioè da tre diametri, e dalla ?ettima parte di e??o, che tale proportione ha la circonferenza al diametro Prop. 3. Tr 18 del no?tro Eucli l de. Ma la ?uperficie BDCF è eguale al rettan golo fatto d'un diametro, e dell'altezza DF, come li raccoglie Pr. 2, Tr. 31 del no?tro Euclide, e così la ?uperficie CE AB. Dunque per le due ?uperficie acute ECF, & EBF re ?tarà il rettangolo fatto dal terzo diametro » e ?uo lettino. Dunque e??endo ambe le fuper ficij eguali, cia?cuna di e??e ?arà eguale al ret tangolo fatto dal ?emidiametro HC , e ?uo ?ettimo, 6 dall'altezza del cilindro CG. PR O POSI I I C N E I 6. Vna portione della detta ?uperficie taglia ta da linee rette parallele all a??e del cilindro è eguale al rettangolo compre?o dalla por tione del giro intrapre?o tra le parallele, e dall'altezza del cilindro, leuato però vin ret tangolo compre?o dall altezza del cilindro, e dal ?eno ver?o tubtendente l'i?te??o gire. Sia la ?uperficie acuta ECF del cilindro AF, e ?i cerchi la quantita di vna parte intra pre?a 39 pre?a tra le due linee parallele CG, LM: io dico, che vn rettangolo fatto d'vna linea retta eguale all'arco GM, e dall'altezza CG gli è eguale, dedotto però vin rettangolo fat to dall'altezza GC, e dal ?eno ver?o CN. Si proua, perche il rettangolo fatto d'wna linea eguale all'arco GM è di altezza GC, qual ?i pre?uponga ?ia VQ è eguale alla ?uper ficie CLGM, come prouoprop. 4. Tr. 3 i. & il rettangolo CN, & CG, quale è XQrettan golo per la prop. 24-Tratt. 31 eguaglia la ?u perficie CLO; dunque VQ ?ottrato il rettan golo XQ , cioè il re?iduo rettangolo VY vguagliarà la ?uperficie COGM. PROP O SI TIONE 17. Se ?arà diui?ovn cono retto in parti eguali, e tagliato in parti eguali con circoli paralleli alla ba?e ?aranno le ?uperfici fra di loro nell' i?te??a proportione , che i circoli, Sia diui?o il cono ABC in parti eguali da circoli QR, OP, paralleli al circolo della ba?e BC. Io dico, che que?te parti di ?uper ficie hauranno l'i?te??a proportione frà loro, che i circoli delle ba?i. Lo prouo, perche per la prop. 24. Tratt. 31. la ?uperficie QRA è eguale al Settore RAM di giro eguale, e così l'OPA al ?ettore PAN . Dunque leuando QRA ?uperficie curua, & RAM ?ettore dall'- vno, e dall'altro re?tarà OQRP ?uperficie conica eguale alla parte dell'anello piano RMNP, e così delli altri. - - Mà que?ti anelli ?ono eguali à rettangoli fatti delle circonferenze di mezzo per la pro po?itione 12. Tratt. 3o e dell'altezza, come MX, NZ, LY; e que?ti dicono frà di loro l'e i?te??a proportione, che le ba?i prop. 1. Tr. 1o MZ , LY, &c. per e??er dell'i?te??a altezza AM, & MN, NL, le quali ba?i eguagliano i circoli di mezzo 12. 13. 14 per il che dicono l'i?te??a proportione; che i circoli di mezzo 12. 13. e 14 e però anche le portioni delli anelli eguali à rettangoli diranno l'i?te??a proportione, che i circoli di mezzo 12 13. 14 e que?ti per la 45. Tr. 1o. dicono l'i?te??a pro portionc frà loro, che i circoli e?tremi CL, PN, RM. Dunque anche le portioni delli an noli AMR, RN, PL, diranno l'i?te??a pro portione, che i circoli e?tremi . Ma que?te ?ono eguali, come habbiamo detto alle por tioni del cono QAR, QP, OC, & li archi MR, NP, CL, alli giri RQ PO, BC. Dun que le portioni del cono diranno frà loro lº i?te??a proportione,che i circoli QR, OP, CB. PRO P O SI TI O N E 13. Se vi ?arà vin corpo tondo in quanto alla ba?e,il cui ?e?to ?iano due portioni di circolo, e la ?uperficie della parte d'vna sfera , che comin - 4t - - cominci da vn circolo, a cui ?erua per diame tro delle predette portioni formanti il predete to corpo, e tanto alta, quanto è l'i?te??o cor po hauerà alla ?uperficie dell'i?te??o corpo l'i?te??a proportione, che il circolo della pre detta sfera al circolo della ba?e del de?critto corpo - Sia il corpo ABC fatto col metro di due portioni di circolo AB, AC; ?ia anche vna portione di sfera DE alta quanto lui, il cui diametro EF ?ia l'i?te?o, che delli archi AC, AB, & l'elieuatione HA l'i?te??a, che del dato corpo BAC ?ituata sùl circolo ma??imo FGE. Io dico, che la ?uperficie globo?a della por tione della sfera DE , e alla ?uperficie del corpo BAC, come il circolo FGE al circolo BLC 2. VA E 7E Que?to lo prouo, perche diui?i gli archi in parti eguali, e tirata vna ?uperficie comica PON, & QIR, le quali ?aranno di due coni retti, e ?imili per e??er li angoli NPO RON eguali per gl' archi eguali QA, AR, e PD: OT, a cui ?on ?ubren?e, la ?uperficie DPOT 1Il 42 in vno farà alla ?uperficie Q AR, nell'altro per la precedente, come il circolo PO, al cir colo QR ; Così è la ?uperficie OM , e alla ?u perficie RV; perche è parte del cono XZM, e la ?uperficie RV parte d'wn altro cono ?imile l al cono XZM Dunque ex equo la ?uperficie DO alla ?ue perficie QAR 1arà, come la OM, al RV ?u perficij, cioè per la precedente, come il cir colo MX al circolo VY; e però componendo la ?uperficie DO con la OM ?arà alla ?uper ficie AQR con la ?uperficie RV, come il cir colo PO al circolo QR, cioè per la preceden te, come il circolo MX al circolo V Y; e così s'andarà argomentando ?ino al fine, cioè ?ino al circolo FGE al circolo BLC . Se dunque tutte le ?uperfici, comiche egualmente alte ?ubten?e alle portiori delle ?uperfici della portione della sfera DE, à quelle del corpo dato BAC ?ono, come vn circolo FGE al cir colo BLC. Dunque anche l'i?te??a ?uperficie della portione sferica DE ?arà alla ?uperficie del corpo ABC, come il circolo FGE al cir colo BLC; perche multiplicate ?econdo ogni Po??ibile multiplicatione finalmente "º Cl)ll ?en?ibilmente non differiranno dalle ie ficii coniche ?otto?critte. Da que?to ?i raccolgono trè o??eruationi. La prima è, che te bene gl'archi FD, AB, AC, TE fo??ero voltati al contrario, purche fatti sù l'i?te??o centro ?eguirà l'i?te??o , ?i come l'i?te??o ?eguirà, ?e fo??ero le ba?i FGE; BLC non circoli, ma quadrati, è qual?i?ia altra figura regolare, perche anche tutti i quadrati, e figure regolari, come i circoli, ?ono figure ?imili per la defi. 1. Tratt. 1o. La ?econda, che ?eguira l'i?te??o ?e DTOP ?uperficie haue??e per ba?e vn quadrato, e la ?uperficie QAR fo??e circolo; perche i cir coli per la 41. Tr. 1o. hanno l'i?te??a propor tione , che i quadrati , ne quali ?on de?critti e La terza, che non ?olo ?i deue ciò intendere delle ?uperfici; ma anche de corpi per e??eri corpi PDT , e QAR alti egualmente, Onde per la prop. 8. I ratt. 33. e 5. l ratt 34. ?aran no nell'i?te??a proportione , che le ba?i, e però la portione della sfera quadrata, è cir culare D TF al corpo BAC ?arà come la ba?e quadrata, è circolare di FE al quadrato, è circolo di BC. Que?te proue io accenno ?ola mente per non portar le regole ?enza i debiti fundamenti 3 Chi ?arà e?ercitato nel modo d'argomentar matematico, e ne fundamenti di e??i nel no?tro Euclide accennati, re?tarà appagato, c ?icuro, e que?to per hora deue ba?tare. AV V E R TIM EN TO. Si deue aggionger al Coroll. della propo?. 19. Tr. 28. anche que?ta o??eruatione , che tll It 2 44 - tutta la ?erie de rettangoli QN, &e ?ino a P, che va in una 'cando aritanericamente per vin lato ?ino al fine, e per l'altro no, que?ta ?erie re?ta eguale alla mera dei rettºrgolo PA, & al terzo del rettangolo PO . Come ?e quella, che mancati tucce?iuamente x –8 A fo??e la serie de retta e goli AP; il cui ma??imo, e Y ) , che manca ?econdo il lato N A ) totalmente, ?econdo il B l a a Y lato YA, non totalm nte: mà molo dà V, ?ino N. La raggione è , perche il ret L tangolo HA và m ncando 1D ?olo da vm lato , e co?i per la propo?. 12. Tr. 28. del V no?tro Euclide manca la metà di tutta la ?erie d'in E tieri , a cui è eguale il ret tangolo AP; & il rettango lo YH manca da due lati , onde per la 14. è eguale al terzo della ?ua ?erie non mancante; a cui s'egualia PO. per hipote?i. PROPOSITIONE 19. ri Ogni cono ?ituato ?opra qualunque ba?e di qual?i ?ua figura eguale però al cir colo ba?e d' vn cono di eguale altezza, è eguale al mede?imo cono. zºi - IR, O Que?ta - v 45 Que?ta propo?itione è ?tata da me prouati alla 27. Tratt. 34 del no?tro Euclide ri?trin gendola alli ?oli coni di ba?i elliptiche; mi perche ho con?iderato, che la ?ua proua è più ampia , e ?i può e?tendere non ?olo alle ba?i elliptiche; ma ad ogni ?orte di ba?e, però hò voluto quì di nuouo, benche meno rigo ro?amente portare la ?ua dimo?tratione. Sia dunque il cono AFE di ba?e circolare, e al di lei circolo CBD ?ia eguale la ba?e MNO del cono LMNO di egual altezza. Si de?crluino nelle ba?i due altre ba?i minori di qualunque figura rettilinea le più grandi, che ?i potranno in ambidue de?criu:re , come DBEC, & NOMP per e?empio quadrango lari collocate in tal gui?a, che la?cino ?patii di numero eguali per e??empio 4. ?patii, che de triangoli , o quadrati facilmente ?i può concedere ?enza altra proua, e ?opra que?te s'intendino alzate piramidi, e ?iano M - NPL, e CE B DA . v, iI i " ?i TE NB, P - Que?te per e??er d'egual altezza, e di ba?e eguale per la pr. 24 del Tratt. ?4. del no?tro Euclide aranno eguali, e per e??er le loro ba?i eguali laici aranno ?pati; eguali. Si de critii no dunque nel rimanente altre ba?i più pic ciole eguali fra loro NRP eguale alla DFC . E così delli altri patii , e iopra que?te ba?i tI 13 ?ì - a6 rigolati s'intendano alzate altre piramidi ?ino alle eguali altezze A. & L. Que?te pur anche per l'i?te??a prop. 24. Tratt. 34. faranno frà loro eguali e??endo d'altezza, e di ba?i eguali. E i ?patii, che re?taranno, è di nu mero, e d'area re?taranno eguali in cia?cuno per hauer leuati da ?patij guali di numero, e di area ?patij parimente eguali di area , e di numero, dunque di que?ti ?i de?critaino ba?i eguali triangolari, e ?i elleuino piramidi dell' i?te??a altezza, anche que?te ?aranno per l' - i?te??a prop. 24 Tratt. 34 eguali. E ?e ?i per ?euera ?ino all' vltima imaginabile de?crittio ne, e po??ibile, ?empre auemirà così, e tanto men re?tarà di ?patio ?in tanto, che non po tendo?i più , ne meno con l'intelletto proce dere à de?criuere,non re?tarà ?ito,che ?ia ima ginabile, che non ?ia pieno nel vino, e nell' altro corpo di piramidi eguali; dunque i coni CAB, LMN ?aranno eguali non eccedendo la multitudine delle piramidi in?critte in cia? cun di loro vina minima quantità imagina bile - , L'hauere??imo prouato, con ridurre la pro ua all'impo??ibile , come ho fatto Tr. 34. prop. 27 del no?tro Euclide; Mà la proua ?a i" ?tata difficile da capire, e però que?ta 2 il 1 e - PRO P O SI TI O N E 2o. Del modo di mi?urare giu?tamente. Benche ogni per?ona e??ata col dettame del lume naturale ?aprà mi?urare a??ai giu?ta mente, ci pare però, che alcuni auuertimenti, che daremmo non ?aranno ponto inutili. Il 47 v Il primo è, che non ?i mi?urino con corda ne con cattenelle, è fili di ferro, ne con altra , co?a , che s'allunghi, è s'accorci, perche ?em pre riu?ciranno disgiu?te in qualche co?a, e ma??ime quando le linee, che ?i mi?ureranno, ?aranno molto lunghe, ma al più ?i potrà mi ?urare con la ?corza della Tiglia, come ?i fà in Francia . - - - Secondo, che ?i mi?uri ?empre appre??o a vna lignola, con vna canna dritta quando ?i douerà mi?urare qualche ?uperficie piana, e tanto più ?e ?arà di?uguale, che ?e à vna par te la lignola re?ta??e tanto alta, che non gli ?i arriua??e, all'hora ?i manderà giù il piom bo al fine di qualche pertica già misurata per notare sù la pianura il ponto, doue l'vltima termina , e da quello tirata vn'altra lignola à piombo ?opra alla prima ?i pro?eguirà di mi?urar ?opra e??a - Terzo, per poter riueder le mi?ure, il che ?empre ?i dourà fare , ?i ?egnarà di trabucco in trabucco, o di pertica in pertica il fine di cia?cuna, traffigendo in quel ponto la ligno la con vna ?pilla, perche co?i annouerati i ?patij frà le ?pille, ?i ?aprà quante pertiche, è trabucchi, o qual?i?ia ?orte di mi?ura ?i ?iano mi?urate - Quarto , ?e ?i mi?ureranno altezze , ne ?i potranno mi?urare per non vi e??er ponti, è ?cale applicandoui la canna ?i potranno mi ?urare con la ?corza della Tiglia, e quando altro non vi ?ia con vna funicella, ma che ?ia già ?tirata. guinto ?e occorre fare qualche circolo ?i potrà fare con la scorza della Tiglia, che è leggiera, e però non ?tanca il bracci ne ?i allUlli - 48 . . allunga , ne s'accorcia - se?to, per mi?urar le volte, ma??ime quan do i loro ?e?ti non ?ono ?emicircoli è vºa Va nità voler ?aper la loro circonferenza da dia metri, perche non vi è certa proportione trà la circonferenza dell'Ouato, & i ?uoi dia metri. Però ?arà nece??ario m ?tirar la lor circonferenza caminando nel misurar dietrº ad vn arco, che ?ia in quadro alla linea di mezzo, o con vna cordicellº : o Tiglia, e perche ?enza Ponti: ciò è difficile e??equir?i, però alcuni viono l'in?tromento qui de?igna to, il quale an che ?eruirà per mi?urare qual ?i ?ia circonfe renza nel pia- E i IlO , & è giu - ?ti??imo. Sia il manico AB di ferro , che e?º ?endo conca-- uo, e vacuo in B ?i po??a met tere a capo va a pertica, e que ?to ferro ?i di uida in due, in tal modo, che riceua Vna ro ta dentata ?ot tilmente, d'in- O torno intorno. \S-L - La cui circonferenza ?ia va piede, come è ECFD, e ?ia diuita in 12 onze, il cui prin cipio ?ia I , in cui ?ia vn chiodo, che entri ne denti - denti dell'altra rota picciola H, e co?i ad ogni volta della rota grande i CDE ?i vol gerà vin dente nella rota H ; onde ?apremo , quanti piedi haurà girato la rota, ?e nume raremo quanti denti ?ia lontano il dente H, che però ?arà notato con vna croce dal taglio dell'altra I, che però ?e la croce haurà girato fino in H ?aranno tanti piedi, quanti denti ?ono nell'arco trà H, e l'I, oltre a ciò vi ?arà il ferro TS come ?ta nel di?egno piegheuole ligato con vna corda in S,la quale tirata farà il ferro TS la la?ci in libertà , è pure ac co?tando?i alla rota in X, la tenghi ferma nell' i?te??o po?to. - Hor que?ta ?i farà aggirare attorno è giri di qualunque forte, è ne volti, è ne piani, e mi?urerà le linee curue in e??i con grandi??i ma Pontualità. PARTE PRIMA Delle mi?ure delle ?uperficipiane. AMA VESTA picciola opereta viene da (AN,ù noi diui?a in trè parti. La prima in N A 24 ?egna di mi?urare le ?uperficii - Ns: La ?econda le ?uperfici; de Corpi - La terza gl'i?te??i corpi. Quì dunque daremo il modo di mi?urar le ?uperfici ?enza con?i derarle ne corpi, non perche in vero ?i diano ?uperfici ?enza corpo; mà perche non puo e??er ?uperficie di corpo alcuno ?enza hauer altre ?uperfici, che l'accompagnano ?e è ?a per ficie piana , e perche quì in?egnaremo di mi?urare vna ?uperfici piana di qualun que 5o . - - que corpo ?enza hauer ri?guardo all'altre, di cui ?i ve?te il mede?imo corpo; però le dicia mo, e le con?ideriamo, come pure ?uperfici), ?enza riflettere il pen?iere à corpi, a cui ne ce??ariamente ?ono conne??e. CAPITO LO 1. Delle mi?ure di diuer?i pae?i. Le ?uperfici ?i po??ono mi?urare con due. ?orti di mi?ure, è con rettangoli lunghi, come habbiamo detto, che ?i v?a in Piemon te, & in alcune parti d'Italia , è con qua drati . Quella, che ?i fà con rettangoli non è vniueriale; poiche ne viene v?ata da ogni ?orte di natione, ne ?i può adoperare in ogni ?orte di figure . Per e?empio nelle figure Tonde. Per il che la?ciandola da parte per hora, mi ?eruirò de quadrati, i quali quanto ?aranno più piccioli, tanto il conto, se sarà fatto bene sarà più e??ato; ma anche più diffi culto?o per douer?i maneggiare numero a??ai più grande. E ?e qualch vno ricerca ??e, che picciolezza di quadrati deue eleggere; ?ap pia, che deuono e?lere tanto piccioli, che il prezzo loro ?ia di poco momento, e ?prezza bile ne commercij humani, per e?empio d' vno, è due denari , o meno, è poco più; perche così il mi?urator è ?icuro, che ?e nel ?partire, è nella regola del trè , è in altra operatione geometrica auanza qualche par te, come d vn quadrato di poco , è nium prezzo, non potrà dar danno graue alle par ti, le quali chiedono le mi?ure. Ben e vero, che poi que?te parti ?i deuono ridurre in parti maggiori, acciò poi vi sì po??a P1u 51 più facilmente ta??ar il prezzo , e però non ?olo il mi?uratore dourà seruir?i del minimo quadrato; ma anche de ma??imi, e mediocri, come poi ?i in?egnarà . - E per dar qualche e?empio de minimi qua drati, ?arebbe come vin quadrato , che ha ue??e vn'onza, è la larghezza d'wn deto, per lunghezza de ?uoi lati. CAPITOLO 2. Del mi?urare le ?uperfici rettilinee , e Piane . Le ?uperfici; rettilinee , ?ono come La?tri chi di lati retti , ?tabiliture di muri, i quali pure ?iano terminati da linee rette, le quali all'hora ?i diranno mi?urate , quando ?i ta prà quanti quadrati a??ignati , come ?arebbe à dire d'vn'onza contengono; perche ?i come Vna lunghezza di cento palmi ?i dice mi?ura ta; perche cento volte contiene il palmo, e ?i commi?ura con e??o; così ?i dirà mi?urato vin piano, quando vna ?uperficie larga, e lunga vn palmo quadrata mi?urera, e cento volte ?i conterrà in e??o. Poiche la mi?ura ?i deue commen?urare alla co a mi?urata, e perciò deue e??ere del mede?imo genere: Onde la li nea, e mi?ura della linea , il piano del piano, il corpo del corpo, e però anche vn corpo largo, lungo, 8 alto vn palmo per e?empio ?ara mi?ura d'wn'altro corpo di cento palmi - D 2. PRO 52 - - - - PROPOSITI ONE 1, Mi?uràr vn piano compre?o da linee rette» & da angoli rettifrà loro. Que?ti piani taranno, come i La?trichi del le camere , è quadrate, è più lunghe d'un la to, e per vina parte, che per l'altra, è le ?u perfici de muri per mi?urare le ?tabiliture, le quali ?iano è ?quadra, e piane come sarebbe la figura CL. - Per mi urar dunque vn tal piano ba?ta mi - ?urare cia?cun de lati per e?empio CH, & HL , e veder quante onze contiene , e poi multiplicare in?ieme quelle onze, che ?i con tengono in cia?cun lato, 8 il numero nato dalla multiplicatione ?arà il contenuto di detto piano. Per e?empio. la C , Sia dato vn muro di trabucchi, è pertiche, ò Pa??i 3. piedi 2 onze4 per vin lato, e per l' altro di trabucchi 2. piedi 4 onze 2. Perche il piede contiene onze 12. & la pertica, è tra bucco piedi 6 o onze 72. e perciò ?i getterà tutto in onze multiplicado i piedi per 12. S& I tra 53 i trabucchi per 72. co Trab, ?ono on- 216 me vedi, e ?ommando il Piedi on. 24. tutto, vn lato verrà on Onze 4, ze 244. e l'altro onze ºgeni due lati dun- Lato 244 in?ieme, e il prodottoi T- ?ono on 144 ?arà 47336, e diremo, 48 che tante onze contie- – ne quel la?tricato , è 194 quel muro - Que?ta regola re?ta prouata nel no?tro Eu clide tratte 5-pr. 3, nel Coroll. Quindi ?i raccoglie il modo, col quale data qual?i?ia mi?ura; per e?empio vin piede qua drato, facilmente ?i può venire in cognitione quante onze contenga; poiche contenendo il piede in lunghezza onze 12 multiplicando in?ieme 12. per 12 ?i farà vin piede piano, che ?arà d'onze 144. che na?ce dalla multiplica tione di 12 per ?e ?te??o. Co?i per ?apere quan te onze contenga vn quadro, che per cia?cun lato habbi vn trabucco, è pertica, ?i multi plicaranno l'onze 72 del lato in ?e ?te??e, e ?i produrranno onze 5184 per la continenza d'e vn trabucco, è pertica quadrata. PR O POSITION E 2. Dato qual?ifia piano mi?urato, e di cui ?i ?appi quante onze contiene, ?aper quante per tiche, è trabucchi, piedi, c onze contenga. Que?to è nece??ario ?apere per poter a??i. gnare il prezzo conueniente al piano misura to; perche come le onze ?ono tal quantità, D 3 che 54, - che è di prezzo, è niuno, è almeno non di rilieuo bi?ogna ridurre la moltitudine dell' ºnze miturate à quella quantità , la quale habbi vn prezzo ta??ato, è accordato frà le parti; acciò gli ?i po??a a??ignare. Però ?e ?i Vorrà ri:urre la ?uperficie mi?urata , e già trouata di 47336. onze à pertiche, ?i diuiderà per la pertica quadrata trouata di ?opra, cioè per 5184., e dalla diui?ione ne verrà 9. Tre col re?iduo 68o. che ?i diuiderà per il piede 144 e ne ri?ulterà 4. piedi, con lot. onze di re?iduo; ?i che la ?uperficie mi?urata ?arà Tre 9. piedi 4- onze Io4 Auuerta?i però, che ?e ?i doueranno mi?urare diuer?i piani, ?i potran no prima ridurre in vna ?omma ; indi per ab breuiare la faticha con vna ?ola diui?ione ri durli tutti in?ieme in trabucchi, e piedi. PR O POSITION E 3. Mi?urare tutti i triangoli re?tilinii. Se ?arà qualche la?trico, o qualche ?uper ficie di muro triangolare da mi?urare po?to vn braccio della ?quadra ?opra d'vn lato ?i farà, che vadi a ferire con l'altro alla ponta del triangolo, cioè all'angolo oppo?to, che nelli triangoli di tutti gli angoli acuti dou rà elleger?i acuto; ma in quelli, che hanno vn'angolo obtu?o douerà e??ere que?to i?te?º ?o obtuto; accio ?i po??i da lui nel lato tirare vn ?egno, è vin filo a ?quadra. Indi poi ?i mi ?urerà la lunghezza di que?to filo, che dal an golo predetto cade à squadra ?opra il lato oppo?to, S anche la lunghezza del mede?i mo lato, e pigliando la metà, è del lato, o del filo po?to a squadra multiplicare i" al IlOC1O *---- 55 modo detto le minime parti , e na?cerà Wº rettangolo eguale al triangolo che fù prº po?to da mi?urare. La raggione di que?ta Prº po?itione ?ta nel no?tro Euclide tratt.29 Prº po?. 18.5 è fondata nella propo? 4o trattº 4. dell'i?te?io. Pere?empio ?ia il triangolo BGA da mi?u rar?i po?ta la ?quadra ?opra BA con vn brac cio, l'altro ferirà la ponta G, in tal modo» che tirando appre??o a lui la linea, o filo GD, vada è terminare nella ponta G. Indi fi mi?u ri la BA, che per e??empio ?ii trabucchi, è pertiche 7. ?i mi?uri parimente il lato DG, il quale ?ia pertiche 4 e piedi 2. ?arà il lato onze 5o4. & il filo a ?quadra onze; 12. la metà del lato è 252. il quale multiplico per 312 dà il piano del triangolo BGA di onze quadrate 78624. il qual numero diui?o per vina pertica quadrata di onze 5184 da pertiche 15 e auan zano 864. onze, le quali diui?e per il piede quadrato di onze 144. fanno giu?tamente pie di 6. ?i che il triangolo BGA ?arà trabucchi 15, e piedi 6. Se poi haue??e la ?uperficie da mi?urar?i, vn angolo retto, la metà d'wn lato, che chiude l'angolo retto multiplicato , con tutto l'altro farà l'i?te??o. - - Che ?e non s'haue??e ?quadra,e pur ?i doue? ?e far la mi?ura; è la ?uperficie fo??e impedi ta, in tal modo, che non ?i pote??e i" il 4 i O - r ai a ?quadra, all'hora ba?terà tirare vin filo a ?quadra alla metà dºvu lato , che multipli cando poi quella lunghezza del filo per tutto Ialtro darà vin rettangolo eguale alla ?uper ficie che ?i vuol mi?urare - P R O POSITION E 4. Trouare il ponto, doue cade la perpendi colare in qual?i?ia triangolo di lati retti co no?ciuti, e la quantità di e??a - Sia il triangolo AGB della figura prece dente, e ?ia in e??o vin angolo G maggiori dell'vno ?egnato A, e dell'altro ?egnatº B con?iderati per fe?oli, non in?ieme, oalmº: no non minor di e??i, e già ?iano i lati conº?: ciuti l'uno di 7. piedi, che ?ia AB, l'altro AG di i.& GB di piedi 6. ?i multiplichino cia?cun delatiin ?e ?te??o, che così ?i faranno le loro quadrate ?uperfici, come habbiamº dettº nella propo?itione 1.3 con?ta dal no?tro º clide defi. 1. tratt. 7. & ?ia il quadrato, º?º: per?icie del lato AB 49 piedi , del lato AG 25. & GB 36. Di poi biogna aggiungere º dique?ti quadrati al quadrato di BA, cioè di quei lato, che è incontro all'angolo G , da cui vogliamo, che cada la perpendicolare º co?i s'aggiongeranno 25. & 49. e faranno74: da cui fieuerà il quadrato, che re?ta, cioè 36 e re?teranno 38 piedi qual numero ?i par tirà in due parti, e faranno 19 cia?cheduna d'e?e, evna di que?te metà ?i ?partirà per il numero della baie 7 e re?teranno - cioè la di?tanza dall'angolo A al ponto D, doº. cade la normale DG, e il pezzo AD ?arà del lato BA ?ottopo?to all'angolo G, da cui ?i ha Vol?u 57 - vol?tito tirar la perpendicolare GD. Che ?e, vore??imo ritrouare l'altra parte della linea BD, in cui cade la perpendicolare, bi?ogna vnire in?ieme l'altro quadrato 36. del lato GB, con il quadrato del lato oppo?to all'an-, golo, d'onde cade la perpendicolare, che è 49 e farà 85. da cui dedotto l'altro quadrato 25. re?tarà 6o. che diui?o per mezzo darà 3o- - che dimi?o per 7. darà 4. ; per il pezzo di lato BD, che termina alla perpendicolare in D - Hò in?egnato que?ta propo?itione nel tratt. 29. del no?tro Euclide, e ne ho dato la proua nella propo?itione 13. tratt. 5. Mà ?e non ?i potra con?eguire vin'angolo maggior delli al tri, mà dourà far?i cadere per qualche occor renza dall'angolo minore delli altri due pre?i per le ?oli, all'hora la perpendicolare ca derà fuori del triangolo, come nel triangolo CSV cade la perpendicolare CD ?opra il lato SV prolungato ?ino a D fuori di tutto il i triangolo CSV Per trouare la detta perpendiculare ?i farà così - . Si multiplicarà il lato CV di parti s. per ?e ?te??o, e farà 64 & il lato SV di 4. piedi, e farà 16. & il lato CS di parti 5. e farà 25. Si aggiunghino in?ieme i due quadrati 16 e 25 daranno 41. e ?i ?ottraghino dal quadrato 64 e re?tarà 23, la cui metà ?arà 11. . . che diui?o Per 53 - - d e il lato SV di parti 4. reftarà 2. e - la di i". in cui" CD dalla parte del la to più corto. Il fundamento di que?ta propo ?itione, è nel trattº 4 prop?itione 12 del no ?tro Eucl. - - In quanto poi alla ?ua e?tentionefacilmen te ?i ritroua, perche hauendo già cono?ciuto il lato ?ino alla normale, però il triangolo ?i è fatto vin rettangolo, è diui?o in rettangoli triangoli. Per e?empio BG A triangolo acu tangolo ?i è diui?one duetriangoli rettangoli BGD, 3 GAD, ouero il triangolo obtu an golo CSV ?i è fatto il rettangolo CDV, onde per cono?cere la quantità della normale, per e?empio DG , ?i farà così. Il lato AD 2. ; gettandº il tutto in parti ?ettime, è di parti 19 & il lato GA di parti 5. ridotte in parti ?ettine è 35. Si multiplicheranno dunque i Predetti lati in ?e ?te??i, e ?i produrranno i quadrati 1225 e 361. e ?ottranendo l'uno dall'altro re?terà 864 di cui ?i cauara la ra ºice quadra come in?egno nel Preludio p. º e ?arà 29 cioè parti 4 - delle prime in tiere. Que?ta operatione ?i dimo?tra al tratt. 4 ProP 13 e ?i pone in prattica al tratt. 23 e ProP 17. del no?tro Euclide. PRoF o si rio NE s. Dati i lati ritrouar l'area di qualunque fi gura regolare. figura regolare è quella, la qualetiene gl'angoli, 8 i lati eguali, come vina figura ºngolare di?egnata dentro vin circolo, è di cinque lati eguali, è di ?ci. Per 59 - Per ?aper dunque l'area delle predette figu re, come di AD BC, ?i tiraranno dal centro linee rette a cia?cun lato, è almeno a due, come FI, BI, e ?i congiongeranno gl'angoli in?ieme FB con la linea retta FB, e ?arà fatto vn triangolo, del quale la figura ne conterrà tanti frà ?e eguali, quanti ?ono i lati d'e??a fi gura, e però la presente, che ha otto lati comprenderà otto triangoli. Si mi?uri dunque vn di quei triangoli, con forme habbiamo in?egnato tirando la perpen dicolare ?opra d'un lato, come IV, e mi?uran dolo, è trouando la ?ua quantità per via di numeri, come alla propo?itione 4 e con que ?ta quantità multiplicata per la metà della ba?e trouando l area. Dato dunque, che l B ?ia 1oo. e il lato BF 76. dunque la IV ?arà parti 92. Multiplicando dunque la metà di 92. cioè 46. per 76. o la metà di 76. cioè 38. per 92. ?i farà l'area 3496. del triangolo FIB. Il che anche ?i otterrà multiplicando 76. per 92. & poi partendo per mezo il prodotto 6992. perche pure dà 349 5. area del triangolo FIB. Se dunque ?i multiplica per il numero de lati della figura, come nell' ottangolo per otto il predetto numero 3496 ?i farà riº l 6o di tutta la figura ottangolare 27968. Auuerta?i però, che, ?e la figura è quadra ta, o quadrilunga non ?erue à diuiderla in due triangoli : ma ba?ta è multiplicare vin lato per l'altro, e ?i fa l'area C D. Si mo?tra tratt. 4. prop. 3. Coroll. del no?tro Eucl. & alla Prop. 2o- tratte 29. TPR O POSITION E 6. Trouar l'area di qual?i?ia figura irregolare rettilinea - - Sia la figura ABCFDE, i cui lati ?iano ret ti, benche ella totalmente irregolarc . Si di uida in vari triangoli, conforme più piacerà, e tornerà commodo tirando le linee BI, BF, FI, & DI, e poi in cia?cun triangolo ?i tirarà la sua perpendicolare, come AH, le quali li nee ?i misureranno, ?i come anche i lati, e poi ?i fara il conto di cia?cuno, come hab biamo insegnato alla prop. 3 di que?to - Di poi tutte l'aree ritrouate di cialcun tri angolo s'vniranno in?ieme, e que?ta ?omma darà l'area di tutta la figura rettilinea irrego i" ºssessunº resº Che ( 6 I Che ?e s'haue??e da mi?urare vin Rombo, è vn Romboide ABCD , ?i tirerà vina perpen dicolare ad vn de lati, come AE, ?e fati bi ?ogno prolungato, e quella ?i mi?urerà 3 per ! che multiplicando EA normale per DC lato, na?cerà l'area di Rombo ABDC. - TE it I3fi: Fse è Mi-----------La : ci -fr"» . D " che?e fo??e va Trapezio, come ABGD di i due lati paralelli GB, e DA. Si mi?ureranno i º due lati paralelli, 6 vnite in?ieme le lor mi º ?ure, la metà di que?ta ?omma multiplicata per tutto il lato DG, farà l'area, o pure nel º mezo del lato DG, ?i tirata la parallela IH , à lati DA,e BG, e que?ta multiplicata con la DG normale a lati DA, BC dara l'area, che ?enon fo??e il lato DG perpendicolare allila ti DA, BC , bi?ognarà tirar vin'altra linea normale, come è la LM , e ?eruir?i della di lei mi ura in vece del lato DG, e co?i multi plicata la normale LM con la normale IH daranno l'area. E que?to è quello, che breue mente ?i può dire delle figure piane retti " i CAPITOLO 3. º Di mi?urare le ?uperfici circolari, e piane 7. Per figure circolari intendiamo non ?olo quelle , che ?ono circoli, ma tutte quelle , che ?ono compre?e da linee curue, o da Vna: ò più 62 è viu parti, è da tutte. La mi?ura dunque delle predette figure principalmente con?i?te nella cognitione della lor ?pecie. Per e??en-. pio, te la figura, la quale è offerta da misura re, ?ia circolo, e ?ia ellip?i, cioè ouata , e ?ia parabola, o altra figura, della quale po??i con?tare l'area, che se fo??e totalmente incer ta; all'hora non ?i potrà mi?urare con preci ?ione matematica; ma appre??o a poco, come in egnaremo. Dunque per procedere o dina tamente, tarà nece??ario prima in?egnare a ri cono?cere cia?cuna figura . Indi dar il modo di trouare la ?ua pianura . Il che nelle te guenti propo?itioni and-remo in?egnando - PR O POSITI O N E 7. Mi?urare l'area di qual?i?ia circolo. Se ?arà data vna figura, che ?ia compre?a da vma linea curua, o tutta , o in parte, e non s'habbi cognitione , ?e ?ia circolo , è portione di circolo per cono?cerla, que?to ?arà il modo. - Si tireranno dentro alla detta portione di circonferenza BE ( FD due linee BC, & CD, e ?opra a que?te dalle loro metà s'inalzeran no le perpendicolari EA, & FA, le quali ?i (cgaranno in A: ?e dunque que?ta circon ferenza - 63 ferenza ?arà equidi?tante dal ponto A in tutti i ?uoi ponti ?arà circolo, è portione di circo lo, & A ?arà suo centro, S& AE, ?emidiame tro, che ?e nò, sarà di qualche altra ?pecie di figura, è pure irregolare. s Si può anche fare in va'altro modo, ma??i me ?e il circolo fo??e tanto grande,che il pon to A difficilmente ?i pote??e trouare; e ?arà tirare nell'ambito dato più linee, che ?i in crociano CE RG, AB, che ?i tagliano in M, e mi?urata cia?cuna da ponti, in cui toccono la circonferenza A, C, B & c. ?ino al commu ne taglio in M multiplicare cia?cuna mi?ura di due ?egmenti dell'i?te??a linea frà ?e ; per e?empio AM per MB, & RM per MG -- i Che ?e faranno, li numeri multiplicati eguali frà se, la linea ambiente curua ?ara cir colo, o portione di circolo, che ?e non fa ranno li multiplicati eguali non ?arà circolo, ne ?ua portione. Le dimo?trationi di que?te due propo?itioni ?ono nel tratt. 6 prop. 11. c35 del no?tro Euclide. Quando dunque con?terà, che la circon ferenza data ?ia circolo, 6 haueremo noto il ?uo diametro, que?to ?olo ?i mi?urerà, S& da que?ta mi?ura ?e ne cauerà l'area, come ?egue - Sia 6Ai si,dunque dato il circolo predetto ARBG, il cui diametro AB ?ia piedi 17. perche come bo mo?trato nel no?tro Euclide tratt. 18. pro po?itione 3. il diametro è in proportione alla circonferenza , come 7. à 22. è pure come di mo?tro nella prop. 4. come 3. a 25. Dunque adoperando la regola del trè per trouar la cir conferenza ?i dirà ?e 7. mi da 22 che mi darà 17? e ne verrà il numero 53. ;- Dunque ?e il diametto è 17. piedi, la circonferenza ?arà piedi 53. , - Per trouar dunque l'area ?i diuiderà il nu mero della circonferenza per mezzo, e ?arà 26. -: co?i anche il numero del diametro, e ?arà 8. 'I . Si multiplicheranno dunque in ?ieme que?ti intieri con i ?uoi rotti, come in ?egniamo tratt. 13. P. 2. pr. 17 del no?tro Euclide , e ?i farà l'area del circolo 227. zº - . e que?ta propo?itione è da noi pro uata al tratt. 3o. pr. 3 & 5. Si potrà fare anche in vin altro modo, con forme prouo nel mede?imo trattato alla pro po?ition e 6 e 7. Si quadri la mi?ura del dia metro, che per e??ermpio ?ia di palmi 84 e farà vn quadrato di 7o56. palmi. Si dica dunque ?e 14 da 7o56. che darà 1 1 ? e farà 5544 per l'area del circolo. La ragione di que?to è come nel luogo allegato apporto , perche il quadrato del diametro al ?uo circolo ha pro portione di 14- è 11. Onde facilmente dato qual?i?ia quadrato e?pre??o in numeri troua remo il ?uo circolo incritto multiplicando quell'area per il numero 11. e diuidendo per 14 Come ancora, perche come prouo nel pre detto luogo alla prop. 8. il quadrato della circon - 6; - circonferenza è al piano del circolo, come 88 a 7. dato il quadrato 69696. della circon ferenza di piedi per e??empio 264 e multipli cato per 7 diuisa per 88. farà 5544 area del circolo, di cui ?ia nota la circonferenza di piedi 264. Se ?i de?idera??e vna proportione più e??ata del diametro alla circonferenza, che di 7 a 22 è di 8. a 25. ?i adopri quella, che da Mctio di 113. a 355. - PRO POSI TI O N E 8. Mi?urar l'area d'wn Settore del circolo. Per Settore s'intende vina figura , che ?ia compre?a da due ?emidiametri, e da vma por tione di circonferenza, così CBA ?arà set tore , e??endo compre?o da due ?emidiametri CA & A,B , e dalla portione di circonferen za CB. . Sì, IE G. li Si mi?urerà dunque l'ambito CB, e ?arà per ef?empio parti, o piedi 1o. & il ?emidiametro ?aràdi parti 25. per il che ?i multiplicheranno in?ieme 25. per 1o. e farà 25o la metà del qual numero ?arà l'area del ?ettore CBA, come prouo nel no?tro Eucl. alla prop. 4. & 1o. tratt, 3o." eguale il ?ettore CBA al triai FEG. E PRO - - - 66 PROPOSITIONE 9. Mi?urar l'area d'wna portione di circolo. Portione di circolo è vina figura piana, la cui pianura è compre?a da vma portione di circonferenza, e da vna linea retta, come è nella portione del circolo CABI, la portio me negra : Prima ?i douerà trouar, ?e non vi ?arà , il di lei centro A, come habbiamo in ?egnato alla prima propo?itione di que?to ca pitolo, e tirare i due ?emidiametri CA, AB, & vno di e??i ?i mi?urerà, che ?arà per e?em piopiedi 16 e poi la corda CB, che ?arà 1s. e poi la circonferenza CIB, che ?arà 19. . Si trouerà dunque hauute que?te mi?ure l' area del triangolo CBA, come habbiamo in ?egnato al cap. 1. Prop. 3: che farà piedi qua. dri 144 e poi l'area del ?ettore CIBA , che ?arà 1; 2. di poi ?i leuara il triangolo CBA di parti 144 dal ?ettore CiBA 152. e re?terà la portione del circolo negra CIB piedi qua drati 8. - P RoPosIT IoNE 1o. Mi?urare vn piano annulare, e ?ue parti: sia dato vn piano annulare DHA, OCB » di cui ?i troui il centro I,come habbiamo inte gnato 67 - - gnato nella 1. prop. di que?to cap. e da quello f, tiri il ?emidiametro I A , e diai?o OA per mezzo ?i tiri il circolo PXQ giu?tamente in ternmediante trà l'wno , e l'altro circolo, di cui dal diametro IQ piedi 14 ?i troui la cir conferenza, come habbiamo di ?opra dimo ?trato, cap. 2. prop. 1. e ?arà piedi 44. 13 A Si mi?uri poi OA portione del diametro compre?a trà l'vno, e l'altro circolo; e ?ia pie di 9. ?i multiplichi que?ta mi?ura per tutta la circonferenza media PO di piedi 44 e ne ver ra l'area di tutto l'anello piano HDA BCO 396. piedi quadri. Que?ta propo?itione è mia prouata alla prop. 12. tratt. 3o. del no?tro Euclide e Che ?e ?i vorrà hauere l'area d'wna parte ?ola d'vn'anello, ba?terà mi?urare la portio ne intrapre?a della circonferenza di mezzo, per e?empio QP, e que?ta mulplicare con la portione OA del diametro intrapre?o, e il prodotto sarà il piano, che ?i de?ia: per e? ?empio QP ?ia 15. & AO 9. l'area IHA ?arà 135 piedi quadrati. - PR O POSITION E II. Del mi?urare le Ellip?i. Sono le figure Ellip?i, come le cuali, le quali ?on più lunghe, gº larghe compre?e 2 da 68 da vna ?ol linea, come è la GQVH, ne ?i po??ono misurare senza cognitione de loro diametri maggior , e minore, e perciò anche del loro centro. Per tanto ?e ?arà data vna Ellip?i da misurare, come GQVH, bi?ognarà prima ritrouare il centro L. e perciò fare ?i tirarà vaa linea GH, & à lei ?e ne tirarà vn - altra paralella FE, le quali ?i diuideranno per mezzo in K, & I, e per quelli due ponti ?i dedurrà la linea AT, che ?i diuiderà per mezzo in L, & l'L, ?arà il centro . Trouato il centro L, ?i trouerà il diametro; ?e fatto centro in L , ?i tirarà vn circolo, che ?eghi in quattro ponti l'Ellip?i; il che ?ucce derà, ?e hauerà il ?emidiametro più grande, che la di?tanza GH minore, e più picciolo, che la di?tanza LG maggiore. Se poi ?i diui dera l'arco dell'Ellip?i intrapre?o trà l'inter ?edione del circolo come nella vicina figura in due parti in V, Q, & PH, e da V, à Q ?i tirera vna linea, ?i come da Pà H, que?ti la ranno i diametri, ?i come prouo alla prop. 32. tratt. 24 del no?tro Eu Fatto 69 Fatte que?to in trè modi ?i potrà trouar 1'. area dell'Ellip?i. E que?to ?ia il primo. Si mi ?urino i due diametri BA, & EF, & BA ?ia piedi 17. l'altro piedi 12. Si troui poi l'area del - - SN 7 N 6 È a circºlº de?critto col diametro maggiore BA di Piedi 17 che è piedi quadri 227. iº: . Di poi ?i dica con la regola del trè, ?e 17. mi da il Piano 2;7. rºz che mi darà 12. e farà 16o.e 7 è più e?atamente 16o. ,ºr che è qua ?i 169 ; e que?ta ?arà l'area del Ellip?i BEAF. Que?ta propo?itione è da me prouata propo?i tiOne 24 tratt. 3o, del no?tro Euclide. Si Può far anche in vn'altro modo veri??i mo º mº in quanto alla pratica in qualche ca?o men giu?to per interuenirui la ?ottratio ne della radice quadra, che in qualche nu mero non ?i può hauer e??ata. Si farà dunque così - Tra il diametro maggior 17. & il mi nor 12, ?i trouerà vna media proportionale multiplicando il 12 per 17. & sottrahendo la radice quadra - come in?egno al tratt. 13. P. 2. alla prop. 2o del no?tro Euclide, 8 nel prc ludio di que?to cap. 3.dal multiplicato, e pro dotto 2o4 ?i farà il numero 14. ºrº - che ?arà ildiametro d'wncircoloeguale alla data Elli E 3 Pil 2 7o - p?i, come preuo tratt 3o alla prop. 25. Onde ?e ?i trouerà l'area di que?to circolo al modo insegnato, sarà l'i?te??a, è qua?i l'i?te??a, che dell'Ellip?i, e darà per area 159. - piedi quadrati men dell'altra , perche la radice 14. Terzº: - è anche vin poco meno. Il terzo mode è prendere l'area di qual?i?ia circolo, come quella del circolo, il cui dia metro ?ia piedi 7. che è piedi 38. -; e poi fare il quadrato del diametro, multiplicando il 7 in ?e,e sarà 49. & anche de due diametri dell' Ellip?i ?e ne facci va rettangolo multiplican doli frà se, e sarà zo4. Indi adoperando la regola delle proportioni, ?i dica, se 49, qua drato mi dà il circolo 38. - che mi darà il ret tangolo 2o4? & donerà 16o. Hº che sono l' i?te??o, che prima qua?i 16e. -. Que?ta pro po?itione è prouata da me tratt. 3o prop. 26. del no?tro Euclide. PRO P o SI TI O N E 12. Mi?urare vina portione data dell'Ellip?i. Perche, come prouo alla prod. 28. tratt. 3c. del no?tro Eucl. vm segmento dell' Ellip?i hà la mede?ima proportione al ?egmento del circolo, che l'Ellip?i al circolo fatto ?opra il diametro maggiore dell'Ellip?i ; purche l' vno » e l'altro segnento ?ia comere?o dalla mede?ima rettalinea normale all'a??e . Per e?empio il segmento A 3C elliptico sarà al segmento AOQ del circolo AC DQ fatto at torno il diametro principale AD , come il circolo ACDQ all'Ellip?i ABDC; purche ?ia l'vno, e l'altro segmento OAQ, & ABC com Pre?o, e tagliato dall i?te?ia linea Qo si - la 71 - Sia dunque il circolo OADQ, il cui dia metro AD ?ia 17. piedi, e perciò l'area, come ?opra habbiamo detto piedi quadri 227. ir e l'Ellip?i ABCD di piedi quadri ioo i È fia P. I O anche noto il segmento OAQ del circolo piedi quadri 72 adoperando la regola delle proportioni ?i dirà, ?e 227. Tºr da piedi 16o ;- che darà piedi 72? & adoprando?i la regola delle proportioni, come habbiamo insegna to tratt- 13. prop. 5. del no?tro Eucl. è nel Preludio prop.7. trouaremo e??er l'area BAC º 3 ;-5 i-; ; cioè piedi quadri 5o. e iº -; è più breuemente piediquadri so e i ; - , P RoPositioNE 13. Misurare vr Settore elliptico, e finire vina pertione elliptica. si farà l'i?te??o per trouare il Settore elli ptico NBA . Perche l'i?te??a proportione : come prouo nell'i?te??a propo?itione ha il settore circolare HOA al settore elliptico HBA , che tutto il circolo è tutta l'Ellip?i - Onde trouata l'area del settore circolare HOA,?i dira adoprando la regola del trè; ?e il circolo AoDQ dà l'Ellip?i ABDC - che E 4 dara y 72 darà il settore AOH del circolo, e fatta l'os peratione, ne verrà HAB settore elliptico. Si potrà anche adoprare tanto in que?ta, quanto nella precedente in vece del circolo tutta la OI, & in vece di tutta l'Ellip?i la B1 linee rette subtendenti , perche il circolo è all'Ellip?i,?i come la OI alla B1. Mà se il segmento BAC non fo??e attorno all'a??e principale, all'hora bisognarà finire tutta l'Ellip?i. Per far la qual cosa bisognerà trouare il suo diametro, e il suo centro, la qual operatione è nuoua , ne è anche ?tata trouata, quando ?i tratti trouare modo di seguitar vn Ellip?i data vna sola portione di e??a - - Si farà dunque così. Sia data la portione ABC, e dentro è quella ?i tirino due parallele AC FH , e diuidendole per mezzo in OV ?i tiri vna linea per i due ponti di mezzo OV » , che ?ia TB. giº E I3 e A. i 7 Q E di nuouo da qual?i?ia ponto tirate due al tre parallele GF, AI, pure ?i diuideranno per mezzo, e per la metà, come habbiamo fatto prima, ?i tirarà la linea MT, e doue ?i inter secono le due MT, BT sarà il centro. Si pro ua, perche TB, TM ?ono diametri, che pa??a no per il centro , come habbiamo prouato alla prop. 28. tratt. 24 del no?tro Euclide, c Però deuono conuenire nel centro non po tendo - - - tendo contienire altro, che in via roºs - Dunque,se il centro è commune ponto, che deue e??ere in ambidue, dourà, e l'vna, e l'ala tra pa??are per il centro in T. Se poi ?i dupli cherà la linea TB, ouero I M, ?i fara rutto il diametro, il quale a nche sarà A??e, e prima rio, se sarà perpendicolare alle due parallele AC, FM, e co?i TM se fo??e ad angoli retti alle due FG, Al - Trouato dunque vn diametro ?i trouerà l'altro compagno , come ?i raccoglie dalla prop. 6. tratt. 23 del no?tro Euclide : se i multiplicherà in?ieme la lunghezza DA, & AB portioni del diametro trouato fino a vna delle parallele tirate, e poi ?i multiplicherà in se l'AE, e parimente la CB facendone numeri piani, e quadrati: Dopoi ?i dirà, se il rettangolo, è numero Piano d'AB, & AD in?ieme mnltiplicati dà il quadrato numero d'AE multiplicato in se ?te??o, che darà il numero quadrato di CB, e darà vin numero quadrato, da cui sottrata la radice 74 radice quadra darà il CH metà dell'altro dia metro d'applicar?i al centro C parallela alle altre E A, la quale duplicata farà l'altro dia metro TH , con il quale ?i troueranno tante line e rerminanti rella circonferenza dell'El lip?i parallele alle già tirate, quanto parerà ba?tino per tirare per le sue e?tremita l'ambito dell Ellip?i mede?ima. E ?i farà a que?to mo do, come prouo, & insegno alla prop. 6o, tra t. 24 del no?tro Euclide, doue non la?cio di dare molti modi di descriuere geometrica mente le dette figure , e tutte l'altre , che na?cono dalla settione del cono - Si tirarà dunque dal B, & D e?tremi del diametro alli e?tremi H , & T dell'altro diamet: o H i le li nee HB , & HD , BT, DT prolungandole quanto farà di bisogno, e poi ?i tirarà qua lunque linea parallela, come ML. Indi ?i di uiderà la parte intrapresa trà BT, e HD per mezzo in O, e fatto il centro in O ?i farà il circolo MXL, e poi dal ponto I s'inalzerà vna normale IX alla ML, e que?ta ?i misure rà sopra l'MI dal ponto I , e doue termina in N, & V, iui douerà pa??are l'ambito dell'El lip?i , & à que?to modo se ne trouarannº molte, e quante piacerà , e per gl'e?tremi N, & V di que?ta, e dell'altre ?i tirarà l'Elli p?i, e ?i compirà totalmente la sua circonfe: renza, 6 all'hora dato il centro, ?i trouarà l'a??e ma??imo , come habbiamo insegnatº nell'antecedente propo?itione e Poi 75 Poi non e??endo il segmento circa ad e??o; se ne farà vino eguale, il quale ?ia circa di lui à que?to modo. Sia l'Ellip?i AHOE , in cui ?ia il segmento OHD, & non ?ia circa all'a??e GA: Si diuida per mezzo l'OD nel ponto fi e dal centro G ?i tiri per I la linea GH, e doue sega in H ?i tiri vna linea HA al ponto ) A, doue il diametro GA termina nell ambito dell'Ellip?i, º a que?ta ?i tiri vna parallela IF dal Ponto I , e doue sega l'a??e in F, ?i tiri all'a??e vina perpendicolare CE, e sarà fatto ! vn segmento CAE circa all'a?le AG, il quale i come mo?tro nella prop. 22. del no?tro Eucl. l tratt, 3o- è eguale al segmento OHD. Si mi?uri dunque l'area di que?to segmento CAE, come habbiamo detto, e ?i saprà pari mente l'area del segmento eguale OHD. PR O P O SI TI O N E 14. Misurare l'area di spati, Lunari. ll spatio Lunare è ?tato quadrato da Gale no con molta sua lode ; ma quella quadra tione è solo quando il circolo maggiore è la metà più grande del minore, i cui archi formano la luna; ma noi quì daremo il mo do di squadrare, non solo ogni spatio Luna re concauo, mà anche globoso . Sia dunque , la Luna concaua A BCD, è globosa A DCH, i cui spatij ?i deuino misurare. Do tici - 6 - fone vedi, che ambidue que?ti spati sono compo?ti di due portioni di circolo, c o è li lunati dell'arco ABC , ADC e 1o globoso dell'arco AlpC, & AtiC de cui archi, se non is - C pN GP - - - vi ?iano ?i troueranno i circoli intieri, S i centri I, & O. Dipoi si trouarà l'area di tutto il circolo ABCH, come habbiamo insegnato alla prop. 7. di que?to, e del settore ADCI, come pure habbiamo detto prop. 8. Indi de due triangoli AOI, & OIC misurando i loro lati, come parimente è ?tato spiegato nel cap. 1. prop 3. i quali ?i leuaranno dal settore ADCi, e re?tarà l'area del piano ADCO. Indi ?i trouera l'area de due settori eguali AOH,ACC che ?i congiongeranno col spatio re?iduo ADCO, e faranno tutta la Luna glo bosa ADCH, la quale ?i leuerà dall'area del circolo ABCH già ritrouata, e re?tara il spa tio della Luna concaua ABCD. Non diamo altro e??empio , perche tutte le operationi sono già ?tate e??enplificate tanto di trouar l'area de circoli , quanto de settori, e de tri angoli, nel cui ritrouato con?i?terittouar l'e area delle predette Lune - PRO PRO P O SI TI ON E 15. Misurare l'area d'wna Parabola. Parabola è vina figura , la quale nasce dal segamento del cono, la cui base ?ia circolare, ò ouale, la quale seghi la base, e ?ia parallela à vna linea dedotta dal vertice alla base sù la superficie ambiente il cono, S è, come vina mezza Ellip?i; mà doue que?ta seguitando, ?i chiude quella seguendo di condur?i la sua linea curua, che la circonda tanto più s'apre. Habbiamo prouato al tratt. 3o, del no?tro Euclide prop. 37. che l'area di que?ta figura è di ciascun suo segmento, e vin terzo di più, che il ma??imo triangolo, che in lei, è nella sua parte ?ia descritto. Per il che per trouar l'area della Parabola, bisogna saper de?cri uere in lei , o nelle sue parti, e misurare il ma??imo triangolo, che po??i in e??a, è nelle sue a??ignate parti capire - Sia dunque la Parabola , è qualche stro segmento LMS), e facci di bisogno descriu cre in e??a il ma??imo triangolo. Si tr la linea io dalli e?tremi a??ignati L, & O, & ad e??a vna parallela TQ, & ambe ?i diuidino per mezzo in S,R,6 per i ponti SR ?itiriv" id º 73 - retta, e d'onde tocca l'ambito della figura in M , ?i tirino due linee rette MLMO alle e?tre mità della prima linea LO, & MLO , sarà il ma??imo triangolo , che ?ia descritto nella parabola MLO, è suo segmento, come pro uo alla prop. 31. tratt. 3o del no?tro Euclide. Si misurarà dunque que?to triangolo ma??i mo; e ?i trouerà la di lui area, la quale ?i di uiderà in trè , 5 il quotiente s'aggiungerà all'i?te??a area del triangolo ma??imo, e que ?ta somma sarà l'area della parabola, O pure ?i farà così. Si diuiderà la base LO in trè par ti, & vna parte di quelle trè s'aggiongerà ad e??a linea LO, e fara?i LX, & ?i condurrà la linea MX. Si misurarà dunque il triangolo LMX, e ?i trouarà la sua area, e quella sarà l'i?te??a, che della data Parabola L MO, come prouo alla prop. 37 tratt, 3o & auertiscafi, che tanto è parabola LMO, quanto CTM ; e solo ?i chiama portione, in quanto è con gionta con vna parte maggiore, che del re ?to diuisa , è anche ella parabola, onde all' - ifte??o modo ?i misura. Delli spati hyperbo lici non ne parliamo, perche le loro aree non sono vsuali, ne di loro è ?tata trouata ?in'ho ra alcuna quadratione - e La Parabola poi ?i descriuerà così . Sia dato qualunqne triangolo BAD, attorno al quale shabbi a descriuere vna parabola, la cui base ?ia BD. Si Si diuida per mezzo in C, e dallacimici triangolo A, ?i tiri vna linea AC, &a que?ta s'inalzi Vna parallela dal ponto B, ouc, D 9 come la DL & eleggendoin AC quanti ponti, e quali vorremo, come F, ?i tirino da quelle linee parallele alla BD, come GH, e ?i facci sopra à ciascuna va cerchio, come Gl H, e poi dal ponto F, e dagl'altri ?imili ?i tiri vna perpendicolare è Gri, che sarà FI, e que?ta ?i transporti da quà, e da là del ponto F sopra la GH , e darà la sua lunghezza misurata dal F, il ponto I nella GH, per il quale dourà pa??ar la linea parabolica DIAB , tirando dunque molte linee tali , e facendo molte operationi predette, trouaremo duer?i pon ti, per li dnali potremo dedurre la linea pa rabolica D1A3 ; e que?to potrà seruire per conoscere,se vna tai linea sarà parabolica, è pur d'altra figura. PR O POSITI O N E 16. Del misurare i Spatii spirali primi, secon di, e terzi, e le sue parti. I spati, spirali sono figure piane comprese da vna linea, che aunolgendo?i attorno al centro, sempre s'acco?ta ad elio. Il modo di descri - descriverla rien è come quello, che han dato il Vignola, o il Serlio, e gl'altri Architetti nel descriuere le volute, il quale non è della linea spirale; mà ?i descritte facendo vin cir ; colo, come ABCD, e diuidendolo in quante parti eguali parerà con i semidiametri AI, BI, &e. vno de quali, come l'IA ?i diuiderà in tante parti, quante e??i sono, come nella figura , perche sono otto, saranno otto le parti del semidiametro AI, e poi sempre di parte in parte ?tringendo il compa??o ?i trans orteranno le parti fatte sopra gl'altri, sopra il primo IA tutte otto, serte ?opra il seguente IT, sopra l'altro B sei, &c e per quei ponti ?i tirarà la spirale AEHI, e così ?i farà delle seconde, e terzespire, Il modo dunque di ritrouare ilarmo... r O tio spirale " l'area del ". - - - ABCD , conforme habbiamo insegnato di sopra 81 sopra prop. 7. e quella diuidere per trè, 6 il quotiente sarà l'area della prima linea spirale AEHl compreso dalla linea retta AI, e dalla spirale AEHI, come di no?tra inuentione hò prouato tratt. 3o. prop. 52 del no?tro Eucl. Per far poi il spatio della seconda spira dalla LA, e dalla linea spirale LMN A com preso il primo circolo ABCD ; ?i duplicherà l'area del primo circolo, e s'aggiongerà vn terzo d'e??a area, e que?ta sarà la misura del spatio spirale predetto LMNAL. Ma il spa rio della terza spira OPC)l ?i misurerà, se ?i multiplicherà l'area del primo circolo per 6 & ?i aggiungerà il terzo di e??a area, e ?i farà il spatio OPQLi, e tutto que?to presupo?to, che i circoli, nelli quali ?i de?criuono le cir couolutioni delle spire cre?chino in quanto al semidiametro con aritmetica proportione 1. 2. 3. come è la linea IA, IL, & IO, come Prouo tratt. 3o. prop. 54. 56. e 58. Mà se il circolo hauef?e il semidiametro AI, & il se condo trè volte tanto, come l'O , all'hora la spira , che cominci da O, & termini in A, col circolo, che chiude ABCD, hauerà pro portione al detto circolo, che ella chiude ABCD, come 16. a 3. Onde quel circolo pre so 5 volte, e - sarà l'area della predetta spira col circolo, che chiude, e se leuiamo via il circolo, sarà al detto circolo come 13. a 3. la qual propo?itione benche non ?ia prouata nel mio Euclide, è però fundata ne mede?imi principij. Ma se fo??e va pezzo solo di spatio spirale della prima spira. Il spatio di que?ti ?i troua ra co?i. Sia dato per e?empio da misurare AIE . Si farà prima vin numero quadrato, F multi 82 multiplicando i piedi, o i palmi del semidia metro lA in se, di poi ?i multiplicarà il lato IA, con l'IE,e poi la differenza EB in se ?te??a, e di que?to numero se ne prenderà il terzo, e ?i aggiungerà al numero resultante dal I A , & IE multiplicati in?ieme, e finalmente ?i tro uerà l'area del Settore AIB, e poi adoprando la regola del trè, ?i dirà, se il numero qua drato del semidiametro, dà il numero piano IA, IE, con vn terzo del numero quadrato EB, che darà il Settore AIB? & darà il spatio spirale AIE propo?to da misurare. Per e? ?empio a Sia il diametro del circolo ABCD di 32. piedi la sua circonferenza sara 1oo. ;- e però la sua area sos. ;- dunque il Settore AIB vie ne ad e??ere piedi quadrati 2o2 - Si multi plicherà poi il semidiametro 1A di piedi 16. in se ?te??o, e farà piedi quadrati 256. fi come anche l'AI piedi i 6. con l'IE piedi 12 e farà vn numero piano di piedi 192. e finaim nte la differenza dall' 1 E all' IA piedi 4. in se, e farà 16. il cui terzo è 5. - che aggiunto a 92 farà 197. -. Adoprando dunque la regola del trè ?i dirà , se 256. rettangolo del semi diametro mi dà i 97. - che mi darà il Settore 2 o2. - ? e fatto il conto se ne cauerà per area del spatio spirale AEIA 155 piedi quadri, e ;-. E que?ta propo?itione è prouata da noi nella prop. 6o. tratt. 3 o del no?tro Euclide fundata nella prop. 18. e 19 tratt, 28 Per il cui fundamento ?i può e?tendere à qual?i?ia sorte di spire, le quali non fini chi no nel centro , come del l MNA , perche multiplicato il semidiametro IL del maggior circolo in se, dara il numero quadrato, e poi s COIA 83 con il semidiametro minore lA darà vin nu mero piano, con il quale ?i congiongerà il terzo del quadrato numero risultante dalla differenza del semidiametro maggiore al mi nore multiplicata in se. Finalmente ?i troue rà l'area del circolo maggiore LZX, e poi ?i adoprerà la regola del trè , dicendo, se il quadrato d'IL dà il numero piano d'IL, IA con vn terzo del numero quadrato d'AL, che darà l'area di tutto il circolo LZX , e darà la spira LMNA Si facci dunque il caso per dar vin' e?em pio, ?ia il semidiametro IO24 & IA 6. Dura que con il diametro Ol tutta la circonferen za ?i trouera 151. -, e l'area 1814. Di poi multiplicato il semidiametro Io maggiore 24- col minore 6 darà vin numero piano 144. à cui ?i aggiungerà il terzo Io8. del quadrato numero 324. che risulta dalla multiplicatio ne della differenza AO di piedi 1s. del semi diametro minore IA, al maggior IO, e ?i farà la somma 252. Finalmente ?i multiplichera il semidiametro maggiore in se ?te??o, e farà il numero quadrato 576. adoprando per tanto la regola delle proportioni ?i dirà, se il nu mero quadrato del semidiametro 576. da 25. che darà il circolo 1814? e darà l'area del spa tio spirale 793. -- che sarà compreso dà Vna linea spirale, che cominci dà O, e ter mini in A. Mà diamo l'e?empio secondo, è la figura, e poniamo, che AI ?ia 6. e però IL 12. piedi, l'area del circolo sarà 452. il quadrato del semidiametro IL 12 sarà 144. il numero pia no dell'IL multiplicato per l'IA sarà 72 il quadrato numero della sua differenza piedi F 2 6. sarà 34 6. sarà 36. & il terzo 12. che con 72. farà 84. Dira dunque se 144. dà 84 che darà 452º e da rà per lo spatio spirale LMN AL 263 f-, -7 che ha l'i?te??a proportione all'area del circolo maggiore, che 7. hà à 12. & al circolo minore, che 7. hà à 3. Onde l'area del circolo minore, che è I 13. - presa due volte, e vin terzo fa qua?i l'i?te??o numero, cioè 263. -: . E se diuidi l'area del circolo maggiore 452 per 12. darà 37. TºT l'area del la spirale per 7. darà 37. , e l'area del circo lo minore I 13. - darà 37. - in circa , che sono qua?i gli?te??i numeri; benche per cau ?a de rotti vi ?ia qualche poco di differenza. Si ponno ancora trouare i spati ispirali ?e condo; e terzo della figura , i cui diametri cre?chino aritmeticamente al modo,che in?e gno nelle propo?itioni sopra cittate diuiden do il circolo L ( Q, che comprende la secon da per 12. pigliando poi, e multiplicando il Quotiente per 7. Si come il terzo circolo di uidendo il circolo maggiore per 27 e di quel le parti prendendone 19. Ma il modo più vini uer?ale è quello, ch habbiamo vitimamente in?egnato. PRO PO SI TI O N E 17. Misurare la superficie d'vna figura Ouale, & altre irregolari. Figura Ouale, come ABCD con?ta di due mezze Ellip?i, o d'vna mezza Elliº?i , e vn semicircolo, l'Vna delle quali ha bbi il dia metro, e l'a??e minore, come BAC, che ser ua per a??e, e diametro maggiore all'altra, come BºlD , nelle quali l'atle BC è " alla 8 alla BAC, e maggiore alla BDC. Si mia ranno dunque que?te due mezze Ellip?i, e ?i calcoleranno, come habbiamo insegnato di sopra, e ?i saprà l'area del ouato BAGD. A. ºg: Co?i anche ?i potrà sapere l' l arca di Vna" C - Ei? º ra piana , che na?ce da vm Pe ro tagliato per mezzo al fiore» perche sono le due portioni di Ellip?i, le quali sono tagliate meno della metà, come ?i vede nella figura AHBC, la quale con?ta del pezzo d' Ellip?i AHB maggiore, che la metà IHG, & dell' altra meta ACB maggio re, che la metà DCE, benche la natura, che odia gl'angoli retti, è troppo acuti in A, & B, non gli habbi precisamente fatti tali, ma Pratticamente poco può variare dal vero. Età que?to modo ?i ponno trouar le superfici di molti altri piani incerti, le quali con?tino di superfici tonde di diuer?e figure , come della figura BACD , che con ?ta della portione di circolo Cl D della Semiparabola AOB, & della portione di Ellip?i ATC, & BHD, perche trouate tut. te l'aree di que?te figure semicurue terminan F 3 dole - 3é - - - - - - - dole eon le linee BD, AB, AC, CD , ?i trouerà poi la superficie rettilinea irregolare, ADCB,come habbiamo insegnato di sopra. PR OP o SiTI O N E i 3. Misurare vina serie infinita di superfici ?i mili date le due prime ba?i , Que?ta propo?itione è più èuriosa , che vtile, e??endo, che nelle fabriche rare volte, è non mai ?i da vna fuga di piani da misurar ?i,la quale vadi decrescendo geometricamen te, cioè come decre?cono i numeri 72. 32. 16. a 42 i-Src, è come 3. I. - ; ii o di qual?i?ia altra tale proce??ione, ma se ?i da??e doureb be?i misurare co?i date di quelle superfici ?i mili, e proportionali, le due prime ba?i. af . Si diano dun - -s-º que le ba?i de due primi qua –l drati AB di Pie - 1E D C A di 16. 8. BC di i piedi 8. nella - -- - progre??ione infinita AF de quadrati, che ?o no ?imili, e decreicono geometricamente, e per la propo?. 14. lib. 6. a que?te ?i troui vna linea terza proportionale, a quale ?ia CD, è pir per la 7 dei Preludio dicendo se AB, da BC, che darà BC mede?ima , e darà CD di piedi 4. poi ?i leuarà la base prinia AB dalla terza trouata DC, e la differenza sarà 12 e poi ?i dirà, se 12 differenza mi da 16 base, prima AB, che mi darà AB, e darà Q di pie di 21. e -. Si multiplichi dunque que?to nu mero di Q per l'altezza BT, che è "i & ?i a T2 37 farà il rettangolo OA di 336 i piedi quadri, che sarà eguale alla multitudine infinita de predetti quadrati, come prouo con altre cu riose demon?trationi alla propo?. 5. tratt. 28. del no?tro Eucl. Se fo??ero triangoli le figure date in scambio di multiplicare per tutta l'al tezza BT, ?i multiplicherà per la metà di e??a se fo??ero altre figure regolari, ?i ridurranno in triangoli, e con ba?i de due primi trian goli ?i trouerà vna superficie eguale a tutti e??i, facendo conto di prendere solo vin trian golo di cia?cheduna, e poi quella superficie ritrouata , che ?ia la predetta 336. - per e??empio, ?i multiplicherà per i lati della pri ma se fo??ero pentagoni per 5. se se??agoni per 6. & c. - - - Si potrà anche far co?i più facilmente, mi surare l'area della prima figura AT, e poi dire con la regola delle proportioni ; se Q da il lato BA, che darà l'area T A ?ia di qualun que sorte ? è darà vin'area eguale alla molti tudine delle superfici; AF , che vanno di minuendo?i con proportione geometrica e PART E SE CON D A. Delle mi?ure ?uperficiali de corpi. bº? E ?uperfici de corpi sono di due 5 º è sorti, l'Vne sono piane, l'altre sono È7 tonde , e globose . Le superfici º piane son quelle , che gia habbia mo con?iderate in a?tratto nella precedente parte, che applicate a corpi, non però mutono specie; mapº ?i multipl s" 4 1 3g di numero,secondo le ditierse faccie , che il corpo ottiene. Le superfici globose º sonº totalmente differenti, non solo dalle Pianes mà anche frase mede?ime, e sono sì difficul tose da ridur?i alle misure quadrate, che ?in - hora poche sono ?tate ridotte sotto misura 3 Per il che habbiamo nel no?tro Euclide pro curato di squadrarne molte, e ci è riuscito per gratia di DIQ di soggettarne più d'Vna alle misure quadrate , come quì faremo vedere. CAPITO LO 1. - Delle superfici piane de corpi - - Non hauendo differente natura le super fici piane de corpi da quelle con?iderate in a?tratto nella precedente parte, ma e??endo quelle ?te??e applicate à suoi corpi breue mente in que?to capitolo se ne spediremo - PR O P O SI T 1 O N E I Misurare ogni corpo, che con?ti di super fici piane, date le misure delati - Ogni corpo di superfici piane con?ta, è di superfici quadrate, come il Cubo, è più lun ghe da vma parte almeno in quanto a due di e??e, come qual?i?ia muro, o pila?tro,è verº di triangoli rettilinei, come ia Piramide, è ?ia fundata sopra vna superficie triangolatº ò sopra qual?i?ia superficie di qualunqi la ti retti , come anche l'Oétoedro , è l'Ico saedro, o pure di superfici; pentagone, come il Dodecaedro, o di mi?te, come altri corpi ?imili, che ?i descriuono nella sfera, è final mente di superfici incerte; mà sempre piane, e retti 89 - e rettilinee, e così hauendo noi dato il mo do di misurare tutte que?te superfici, non vi re?ta da far altro,se nò misurar di tutte quelle, che nel corpo ?i trouaranno i lati differenti e da ciascuno cauarne l'aree, e que?te poi ri durle in via sòma,e quella somma sarà l'area di tutte le superfici ambienti il dato corpo - Che se le superfici saranno tutte eguali , come de corpi regolari, ba?terà hauer la mi: sura d'wna di e??e, e quella mnltiplicar per il numero delle superfici, come dell' Octoedro per 8: del Dodecaedro per 12. & il numero - risultante dalla multiplicatione sarà l'area de?iderata di tutte le superfici del corpo dato. E per darne vn e?empio - ibre- Sia offerto il Prisma DAHB, é itàè ?i misuriil lato A piedi,8 il lato Cl, o DH di piedi I o mul li tiplicandoli in?ieme farà 3o. è-: piedi per l'area della superficie IB, & in conseguenza dell'al tra oppo?ta eguale è que?ta. Misurato poi DI di piedi 4 e multiplicandoli per il lato HD, è CI piedi 1o, saranno piedi 4o per l'e e?ten?ione della superficie CD , e per l'oppo: ?ta . Finalmente multiplicato DI 4- piedi per IA 3. farà 12. piedi per la superficie DA, e per l'oppo?ta HB, onde le trè superfici misu rate saranno piedi 82 e l'oppo?te altretanto, e tutte in?ieme piedi 164 PR O POSITION E 2. Trouar l'area d'wn Cilindro di ba?i paralle le cguali, e circolari, e rette all'a??e. Cilini - 9o Cilindro è vin corpo tondo, come vina colonna, che ?ia tanto gro??a in cima, come in fondo, é habbi le ba?i tonde , Per misurare il quale ?ia dato il Cilindro BAEC, prima ?i trouarà il centro I del cir colo della base, e per quelle ?i farà pa??are il diametro BA,misurato il quale per mezzo di e??o ?i trouerà la circonferenza EQ A, e d'in di l'e?ten?ione, o area della superficie circo lare BQA , e ?i duplichera per le due ba?i, superiore, 8 inferiore. Di poi ?i mi?urerà la sua altezza CA , e que?ta multiplicata con la circonferenza BQ3, darà l'e?ten?ione del la superficie cu ua, che lo circonda - Que?ta operazione è da me prouata alla prop. 4. tratt. 3 I. TB del no?tro Euclide. Per e?em pio poniamo, che il diametro della base circolare del Cilin dro habbi 15 piccii dunque la circonferenza, come ho inse gnato prop. 7. part. i multi plicando per 22. e diuidendo D per 7 darà piedi 47 -; quindi ?i trou erà l'area del circolo deila base piedi quadri 176. . . » che per la base inferiore, e superiore ?i du plicherà e sara piedi quadri; 53. re... Misu rata poi la sua altezza, poniamo ?ia piedi 5o. ?i multiplicherà so. per 47. - circonferenza, e ?i farà la superficie a biente piedi quadri 2357. - » e con le ba?i farà 3 e63. ;-: . C o R o L L. Quindi è, che da ciò potremo sapere l'a tead vna volta lunga, come a vn Corritore, SCI12al - ... 9 i., - - - - - senza Lunete, è Crociere parallela all'Ori zonte, perche ?i trouarà la sua area, come se fo??e d'un mezzo Cilindro multiplicando il semicircolo, 3 ambito per la sua longhezza P Ro Posit IoN E 3. Misurar la superficie d'wn Cilindro di ba?i Elliptiche: mi parallele, o ?iano rette all'a??e, ò oblique, g . - - - - - - - Non vi è altra differenza dalla precedente operatione, se non que?ta sola, che dal dia metro dell'Ellip?i dobbiamo calcolare la circonferenza Elliptica BQA retta all'a??e , come nel fine di que?ta parte s'in?egna, è mi surarla, è quella multiplicata per l'altezza dell'a??e IM, d lo darà la superficie, che cir conda il Cilindro BAEC, è BACD, e le ba?i Elliptiche ?i misureranno, come habbiamo insegnato di sopra trattando dell'Ellip?i prop. 1 I. e ciò quando saranno, è vna, o entram birette all'a??e, ma quando non fo??ero tali, ?iano circoli , ?iano Ellip?i , all'hora biso gnerà sù la superficie del Cilindro disegnare l'ambito d'una linea, che circondi il Cilindro ritornando in se ?te??a, che ?ia ad angoli retti con l'a??e, e ?i farà così. Si porrà vna riga ?o pra la base, e l'altra sopra l'altra, come ABi OD, in tal modo, che trasguardate l'Vna co pri perfettamente l'altra , che li Matematici chiamano e??er nell'i?te??o piano, e notati i ponti nella circonferenza; doue segono i loro lati, ?i tirerà vna linea di base i base, come OA, & à que?ta diie, è trè parallele, ponen do poi la squadra , è di rame, o cartone ?o pra QA, & sopra all'altre parallele, l'altro braccio 92 braccio ?i piegherà attorno al Cilindro & appre?o cfo braccio piegato ?itirarº,attºº ai detto Cilindro vina linea LIL , la quale sarà quella, che ?i richiede. Si misuri dunque que?ta circonferenza, e ?ia per e??empio trè palmi. - Si multiplichi que ?ta per l'altez: za del Cilindro di 15. e ?i haueranno per la superficie ambiente il Cilin dro 45. palmi qua - - drati, a cui aggiungendo le aree dellº due Ellip?i delle basi misurate come sopra, ?i hau ranno le e?ten?ioni di tutte le superfici del Cilindro obliquo . Que?ta propo?itione è da me dimo?trata tratt. 31. prop. 5 del no?tro Euclide » - c o R o LL I, Quindi ?i trouerà la superficie d'una volta longa, senza lunete, o crocciere rampante, come d'wna scala: perche fatte due linee in squadra all'impo?ta della volta vna per due, o trè braccia di?tante dall'altra, come 10, PQ : N Et tra ?quardando - per e??e la volta in sº ar tal maniera , che vna nasconda l'al N tra , ?i faranno de g S. Q ponti, come IEO, la doue impedisco - no, e coprono a vi?ta della volta, e per e??i fi tireravna linea curua, e quella ?i misurerà» Chc 93 - che ?i multiplicherà per la lunghezza della volta, é il prodotto sarà l'area di tutta la Volta. PRO P O SI TI o N E 4. Misurare la superficie d'wn pezzo di Ci lindro , che habhi vna base compo?ta d'wn settore Elliptico, è circolare. º Sia vn Cilindro, che non habbi ba?i pa rallele perfette , mà ?iano per e??empio vin settore dvn circolo, o d'vna Ellip?i , come IAB, G DE . Si misurarà l'ambito IHB, E e que?to ?i multiplicherà per l'altezza ID, & il prodotto T sarà la superficie curua, che lo ve?te . L' altre superficii poi E I AGD » AG5E ?i misureranno D come le superfici piane, 3 i G due settori IAB, GED, come di sopra pro po?itione 8. & 13- parte 1. che se fo??e la ba?e Vna Portione di circolo, come IBH, ?i tro uerà l'area di quella portione, e del rettan golo IBDE, e la superficie circolare, come sopra e E que?to mede?imo ?i o??eruerà in qualun que altro corpo Cilindrico di qualunque sorte di ba?i parallele, perche misurato il contorno della sua superficie curva, e qie?ta multiplicata con l'altezza, dara l'e?ten?ione idella mede?ima superficie. Per e?empio se la base fo??e vina Parabola, il contorno di e??a multiplicato con l'altezza, darà la sua area. PRO 94 p R O POSITION E 5. Misurar vna superficie acuta dºvu pezzo di Cilindro davna base tagliato obliquamente' 'altra ad angoli retti - ... s" sarà vin " di Cilindro, come AEB, di cui vina base lo tagli ad angoli retti alla EB, l'altra come A FED obliquamente , e ?i cerchi di misurare la superficie: E, EsztAA c F c Se Si misurerà la circonferenza della base retta , ?ia ella Elliptica, è circolare, come A DBC, e ?i multiplichera per la metà dell' altezza BE, e quel numero, che nascerà dalla multiplicatione , sarà l'area della superficie curua del detto pezzo AEB, come prouo alla prop. 6 tratt. 5 del no?tro Euclide. Le ba?i AFE, & ADB circolari, è Elliptiche ?i tro ueranno come sopra ; mà se l'AEF base, non tocca??e la base ADBC ?i tirerà, come hab biamo insegnato in que?to capitolo alla prop. 3- vna circonferenza ad angoli retti , che tocchi, come FC, è pure EA, e ?i farà l'i?te??o, - - - - 95 l'i?te??o, come prima, e poi della superficie del re?iduo Cilindro E AFC ?i fa ra il conto, come alla prop. 2 O 3. di que?to capitolo, e??endo egli di ba?i rette parallele AEFC, e poi tutte trè le superfici curne del pezzo di Cilindro BAE,& FCD, e del Cilindro AEFC, con le due delle due ba?i BE, FD, ?i ridurran no in vna somma , e co?i sarà misurata tutta la superficie del Cilindro . PRO P O SI TI ON E 6, Misurare ogni sorte di Ongia Cilindrica, e le sue parti, purche il Cilindro ?ia circolare, e la ba?e retta e - - Sia da misurar?i l'Ongia ABC d'vn Cilin dro, la cui base ?ia all' a??e XV ad angoli ret ti, e circolari BN AM segata per vin piano, che pa??i per mezzo al diametro AB della ba ?e NBMA, & obliquamente la seghi, come 2 fa il piano A bC , e ?i cerchi la ?uperficie ABNC, che curua la circonda. - Per ciò ritrouare, come p rouo, N alla prop. 34 tratt. 31 del no- A Q ?tro Euclide, ba?ta multiplicare - i l'altezza " per il diametro, A B A , e quel rettangolo musne- C rico sarà eguale alla superficie AP TS ABN C. La superficie poi BCA, 2 come prouo alla prop. 22 tratt 25 e vna nezza Ellip?i, onde ?i misurerà come ?i è det to, ?i come il mezo circolo BNA, & co?i sa ranno misurate tutte le superfici vingulari - Per misurare poi le parti, come Pi QA ?i tirerà dal Tvna perpendicolare al diametro, che ?ia QT, e ?i misurerà QA, e l'altezza Nº-, e multi 96 e multiplicando l'uno, e l'altro in?ieme il rodotto farà l'area della portione PTA del f superficie vingulare, come prouo nel corol lario della propo?itione34. tratt. 31 del no ?tro Euclide. - - C A PITO LO 2. Della ?uperficie de Coni. La ?uperficie de coni è più difficile da ridur. ?i in mi?ura, che di Cilindri, anzi negl' obli qui ?in'hora non ?i è trouato modo di mi?u rarla, però non la?cierò di darne qualche documento. I - PR O POSITION E 7. Trouar le ?uperficii de coni circolari retti. Cono è vina figura , come vna Piramide; che hà la base tonda, è Elliptica, come BCK unque per mi?urar la superficie del cono C AB , ?i mi?urerà il diametro CB, e da que ?to ?i trouerà i circonferenza del circolo della ba?e CKB, quindi ?i troverà l'area dell' i?te??a ba?e, di poi ?i mi?urerà il lato A del cono ACB, e ?i ?eruirà di e??o, come di ?emi diametro per trouar l'area del settore BAE dell'i?te??o circolo, come ho detto prop. s. Part i pigliandolo come vna parte di circolo. La La cui circonferenza ?ia eguale alla fi circonferenza della ba?e CKB, e que?ta sarà l'area della ?uperficie curua ambiente il co no CB A, che congionta con l'area della ba ?e CKB già trouata, compirà titta la super ficie del cono. - Per e??enpio po?to, che il diametro BC ?ia palmi 9. la circonferenza CRIBC, sarà pal mi 23. , , l'area sarà 63. - qua?i; il lato BA ?ia 37. piedi , dunque multiplicati 23. - per 37. ?i produrrà vn'area di piedi 1e46 - della quale la metà 523. - ?arà la superficie curua del cono ACB, è pure multiplicando 14 - er 37. è pure multiplicando 28. ; per 18. - farà l'area i?te??a 523. -. Que?te propo?itio ni ?ono da me prouate alla prop. 24-25 tratt. 31. del no?tro Euclide. - i P RO P O SI TI O N E 8. è º Trouar la superficie d'wn pezzo d'wn cono I CttO a , Si misuri il diametro della base superiore, & inferiore , come nella figura del cono DLC dato vin suo pezzo da mi?urare BFA D EC, Si misurarà il diametro BA di 1o.palmi , & DC di 16 ?i sottrarà poi l'Vno dall'altro, e sarà 6. e congionta la metà 3. col circolo minore ?i farà il diametro del circolo me dio 13, Onde la circonferenza sarà 4o. -, e però l'area dell'anello piano DIOCXE , come h abbiamo in?egnato prop. 1o parte 1. multi plicando la circonferenza media con l'OC di palmi 3 sarà 122.4 l'area piana nell'anello. D'indi ?i misurerà l'altezza del lato del Pez G z2 dc. Bayerische Staatsbibliothek Minchen zodelcono Ac ºpalmi? Si dirà dºn a: se 3 danno 9-che darà 122. -? e darà 367. +-: che e qua?i 367 -, e tale sarà la super - - - - - - - - - - i – - - i . A “ficie del pezzo del co no BADEC. Que?ta è , , , mia propo?itione pro - - - - - S A uata alligo del tratr. - - - - si. E que?to non solo della superficie tutta del pezzo del cono , le ma anche delle sue parti diuise da linee E ---- rette terminanti nel vertice I, che diuidinoilcerchio inferiore, e superiore in parti proportiº: perche tale sarà oc all' AC, come vin Pºº della super ficie dell'anello piano dell'i?te??o giro alla porrione della superficie del pezzo di cono, co?ì se il giro del pez dell' anello di mezo sarà to, l'area sarà 3o o 5nde adoprata la re - gola del trè, dicendo se 3 danno 39, che da ino, ne verrà po area porriºne dº", perficie del pezzo dicono de?iderata, ma ?i può far anchein vin'altro mo do, che in?egno con Archimede nell'i?te?o trattato propo . . ?itione 32 s - . - Si vatichino in?iemei semidiametri della base superiore BFA Palmi ; e inferiore DE pahmi 8. e saranno Palmi i 3 e ?i multiplichi coiiato Ac palmi 9. e sarà Palmi º dà cui ?isottrarà la radice quadra, che sarà pal mi 1 e., - , e que?ta duplicata 21: r . . » come diametro ?i adopri per trouaril Pº d'vn circolo, e darà di circonferenz 6º ºl tini, la cui metà 34. multiplicata peii" 12 - - -- º 99 diametro io. A darà l'area d'wn circolo di palmi 367. - eguale alla superficie del pezzo di cono BFADEC, che ?i cercaua - - - º - - - c o R o LL. - - A. - e Quindi ?i potrà trouare la superficie d'wn pezzo"olto, che ?iapiù largoda vmapare te,che dall'altra,é il circolodi dietro ?ia più grande, che quello d'auanti, perche la me tà dell'area "º di cono è l'i?te??o, che la ?ua superficie. PR o PosIT IoNE 9. - - - - Trouar l'area d'un cono obliquo di ba?e circolare, è retto di ba?e Elliptica, almeno appre??o a poco. ei t & ill Iniegno alla propo?. 33. tratt. 31: & alla prop. 2 tratt. 35 del no?tro Euclide di ?aper trouar le ?uperfici deconi Scaleni, & Ellipti ci, e in vero la dimo?tratione è euidente, se non fo??e, che è fondata nell'in?crittione, e circonlcrittione de corpi Cilindrici , la su perficie de quali nons'accommoda bene alle superficii de coni, è delli altri corpi globo?i, che ?i pretendono in e??e di squadrare: per itche già che non hò potuto trouarne la fu perficie loro matematicamente, ho de?tinato hora di trouarla tanto vicina, che prattica mente non ?ia lontana dal giu?to, e ?e vi è, che ?i renda di?prezzabile il ?uario. . . Sia dato ABC conoscaleno di ba?e tonda, è Elliptica,come LAC,fi attachi in Avna fu nicella , che non ?i po??i allungare più, è meno, ma ?tia nel mede?imo ?tato, e ?i veda, G 2 qui le - - a - - i - - I DO - - quale è la di?tanza più corta della cima, e la ?i faccivn ?egno per e??empio in B, e quale è la più longa, e parimente ?i noti, e ?ia C, è La e tirata vna linea da Bà C ?opra alla ba?e cir e - - - º ºa e A e - - - - f, i re : AVIV º º e - - - - , A : - -- I , V | A V - - - - erº . º T. a - - - - - º , r- -- - - ML 2- - . e Z2 cé E - - - - - - - - - eolare del cono obliquo, è nell'Elliptico da L à C, se ne tiri vn altra per il centro del cit colo, è dell'" retti iF, o BL, è se la base non ?i pote?se segnare, ?i prenda il mezzo trà la B, 8 C, e ?ia F, & , e ?i tirino le linee della cima FA, & A, è BA, IA : e da quelli ponti con l'i?te??a funicclla ?i tiri vina linea IET,6 VBo,ò nell'altro cono Elliptico ITB , & l PB. Misurata dunque la di?tanza dalla cima IA, ?i multiplicherà con la metà della linea curua FTI, e sarà l'area FTIA di parte della superficie del cono, e co?i ?i farà della VBO, e dell'altre, multiplicando la sua metà per l'altezza VA, e ne haueremº l'altro pezzo, come habbiamo detto, e Pror lato al preludio di que?to trattato prºr, iº Re?tonº le due superfici ITFC, & FVBO le quali appre??o a poco multiplicate per lº metà dell'altezza loro, cioè per la meta di tutta la linea curua tirata vltimamente» che l le forma, come la metà della TC per la metà | di ETI, è la metà della FO per la meta VB 2. Si farà vin parallelogramo vguale ad vn tri lo - ango to1 angolo di linee rette,la cui altezza fo??eTF, e la ba?e fo??e TC, il quale in vero poco dif feri?ce dal triangolo ambiente il cono TCF, o TIC . Si come il parallelogramo fatto della metà della OF , e della metà della VBO è eguale al triangolo fatto della ba?e OF tutta alto quanto QB poco differi?ce dal trian golo curuo ofB, come ?i può chiarire qua lunque dalle ?uperfici comiche gettate in pia no nell'E?pentione 2 tratt. 32 del no?tro Eu clide, e così ?i farà de triangoli nel cono El liptico TCB, e TCI, ILP, e PLB. Onde ?arà misurata la ?uperficie del cono Scaleno , o Elliptico almeno appre??o a poco, quando è que?te superfici s'aggiungeranno le superfici delle ba?i - - , l CAPITO LO 3. - . . i , a -- - - - Del misurar le Volte à Padiglione, e Lu I CttC - - - -- - - - - - - . Le regole, che daremo in que?to, e nei seguente capo circa il mi?urare le Volte qua drate, o d'altre figure, trattene le circolari, son tutte di mia inuentione; delle quali fin hora non è ?tata data regola alcuna ºs. , PRoPosIT IoN E io. Misurare la ?uperficie d'wna Volta quadra ta» & ogni sua parte, il cui ?e?to ?ia semicir colo - Sia data da misurare vina Volta quadrata , ò vna sua metà AODCQ fatta su'l se?to di mezzo circolo, di cuisono i quadranti AOE, & AED, & BAE: - - - - - - G 3 Per - - , - -º rogº - Per ritroviar dunque la superficie BAC, ?i misuri il radio EA, & il lato BC, e poi fi mul tiplichi la longhezza BC per il semidiametro EA, perche que?to rettangolo numerico sarà s eguale allasuperficie BAC,come prouoprop. 34. tratt. 31. del no?tro Euclide , perche io colà prouo, che vna superficie, la cui base ?ia doppia a BEA, & e??a doppia a BAC ?ia egua le advn rettangolo doppio d'area fatto dell' altezza BC, e del diametro tutto doppio al radio, e semidiametro EA. Faremo poi l' i?te??o della superficie QBA, e della superfi cie QOA, & CDA, & haueremo misurata la metà della Volta, onde dupplicando la som ma di que?te quattro superfici, sarà ridotta in misura tutta la superficie della Volta, che ?i douetta mi?urare. Mà faciamo, che ?i doue??e solo misurare vna parte di e??a, ouero che fo??e data vna Volta fatta non sopra il se?to d'un semicirco lo perfetto, ma sopra vina portione di e??o, come sarebbe laVolta A RSMH. º e Per far que?ta misura fi misurerà la TA, e la BC, che se non vi fo??e facilmente ?i tro i . tuerà » ,. Iº a a - uerà, facendo tutto il circolo, di cui LTA è vna portione;perche così ?i trotterà il ?emi diametro BE, è BC, il quale multiplicando con TA darà vin rettangolo, è numero piano vguale alla superficie AML, così ?i farà deli' altre trè parti, e ?i haueranno tutte le altre superfici, MAS, HLA, PIRA la somma del le quali dupplicata darà tutta la Volta, lacui metà è ASMHR.. - - - - - - - e Rorosi rione 11 Misurarvn Volto fatto sopra ad vn Pen tagono, Sexagono, Ottangonosò qual?i?ia al tra figura di lati vguali , il cui se?to ?ia va mezzo tondo, - - Sia ABC vn quadrante , che diuida in squadra, e per mezzo il lato EF, e l'angolo EBC ?ia retto, sopra il quale quadrante ?icur ui la superficie d'wna parte di Volta BAF e - a A a º - º - - - - - - che ?ia portione d vna qualche figura regola re, il lato della quale eguale agl'altri ?ia EF, e l'angolo ECF, ?ia l'angolo al centro C del la predetta figura in tal modo che, se Pen tagono l'angolo ECF ?ia la quinta parte di tutto il giro, se è se??agono la se?ta º & C. E??endo dunque figura sºrsº tut - - 4 t1 -- ti vguali, egl'angolivguali, ?aranno anche eguali le parti di Volta, che s'agirono, e vol tano per ricoprire l'i?te??o piano. Onde mi i" que?ta , saranno misurate tutte le altre . e - - -- Per misurarla dunque, ?i misuri BF, & il semidiametro AC, e ?i multiplichi l'Vn per l'altro, e"; piano di numeri, sarà eguale alla superficie ABF, eguale all'EAB super ficie Cilindrica. Onde duplicata farà tutta la superficie EAF, la quale multiplicata per il numero de lati darà tutta la superficie della Volta. E l'i?te??o ?i farà, se l'arco fo??e por tione di circolo,S vn pezzo di Volta tagliata parallela all'Orizonte, perche ?i misuri l'al tezza GA, e poi la lunghezza FB, e multi i" l'vn per l'altro, farà la superficie AM, che duplicata farà la superficie LAM, e multiplicata per il numero de lati farà tutta la Volta,il cui se?to ?ia vna portione di giro, come è HA. Que?ta propo?itione è prouata da me prop. 21. tratte 31. del no?tro Euclide P.Ro PositioN E i.. Misurar vna Volta sopra vin Rombo , è altra figura di lati vguali , e d'angoli disu guali, di cui però il se?to ?ia vn semicircolo, è quadrante di e??o. Sia la Volta BHGCF sopra vn Rombo CHGF, & AEB quadrante ?i facci perpendi colare al lato CF. Si misurerà l'AB, e la EF, & il risultato dalla mutua multiplicatione di que?te misure, frà loro sarà eguale alla ?u perficie EBP. Così misurata CE, e multipli cata con l'AB, sarà eguale alla superficie - - - , - CBE» - - - - 1o; CBE, onde l'Vna, e l'altra aggiunta in?ieme ?i farà la superficie CBF , che se vogliamo solo la superficie CDB multiplicato DE con AB ?i sottrarà il generato da CE in AB, e re ?tarà CDB. Si farà poi di BPGFO e dell'al tra BLCHQ superfici, come nella preceden te propo?itione. - 12, - . - O - - - G A - - -F-iis –a L'i?te??o ?i farà del pezzo NOB multipli eando EF, con TR, e del pezzo NLB multi plicando EC con TB, e ?e ?i vorrà solo MLB multiplicato E D con BT, ?i sottrarà dal ret tangolo EC , TB, e ?i hauerà la superficie LMB. Que?ta propo?itione è prouata da me nel Coroll. propos. 21. tratt. 31 del no?tro Euclide - PRO POSITION E 13. Misurare vina Volta quadrata rampante; il cui se?to ?ia vin semicircolo. - - Sia data vna Volta, la cui impo?ta, e lato AC ?ia più alto da vma parte, come A, che dall'altra C, & il suo se?to perpendicolare all'Orizonte è alla CA, ?ia il quadranteiº. - 4 1c6 ; Si farà come habbiamo prouate al princi pio di que?to propos 14 l'i?te??o, che de Vol ti retti, multiplicando la GB per FC per ri-: trouar la superficie del Volto rampante BO FCV, & AF, con GB per trouare la superfi cie AFPOB. E l'i?te?io, che di sopra, ?i farà anche per trouar le superfici delle parti, co me della BPV, perche ?i multiplicherà FC, con LB per trouar OBV , & AF con LB per trouar la superficie POB, poiche come hab biamo detto nel principio di que?to libro prop. 14- benche il circolo, e se?to non ?ia normale al piano , che pa??a per l'a??e del Cilindro, come è AEDC, che pa??a per l'a??e ED, a cui non è perpendicolare il circolo, o quadrante FBG , nulladimeno ?i verificono tutte le propo?itioni del trattº 3 1 del no?tro Euclide dalla prop. 14 ?ino alla 23. nelle quali habbiamo mo?trato que?ta operatione - Le altre poi - due parti ABE, & DCB ?i misu reranno, come le parti, tirando , EX normale al la GB, e misura : - ta la X3 ?i mul tiplicherà con - l'altezza EA, & il prodotto sarà l'area curia AEB. Così ?i condurrà GY ela YZ multipli cata per la GB, darà l'area ZX3, º il re?tan te DYZC ?i potrà misurare multiplicando DY per DC, o più giu?tamente tirata vaa li nea da Y normale all'Orizonte perpendico lare G3 allungata in H, ?i multiplicarà la Bi Per la DC , e sarà l'area dellaassi" -- - ( ro7 C. Auuerti però, che que?te Volte a?cen denti ?ono ordinariamente fatte ?opra due portioni di circoli GBE, & GYD, de quali i centri sono sù la linea i?te??a HB . Onde ?i ?on misurate, come Volte che habbino per se?to vn quadrante, è vna portione di e??o - - PRO P O SI TI O N E 14. Trouar la superficie d'wna Lunetta, è di vna croce d'wn Voiro i crociera, il cui se?to ?ia vn semicircolo, e delle sue parti tagliate, ò da linee parallele, è da circoli paralleli. Sia data la Lunetta d'vn Volto DCEA, e ?i debba trouar la sua area, e delle sue parti - Si misurerà il semidiametro FE, e gli sì ag giungerà il suo settimo, e poi ?i misurerà la di?tanza AC della sua ponta C dal muro A , e dal circolo, che gli dà il se?to à squadra, e ?i multiplicherà FE, e vn settimo per la sua lunghezza AC, e quel prodotto sarà l'area della Lunetta , come prouo nel preludio propo?itione 15. Per misurar poi vn suo pezzo diui?o dal le linee parallele AC, OG dall'O ponto, dc ne termina la linea OG, tirara??i vna nor male al diametro AF parallela alla DE, e ?i misurarà BA, e ?imul- - - - - tiplichera per AC, poi ?i misurarà l'arco AO, e ?i multiplicherà parimente per l'AC, e da que?to prodotto ?i sottrarà il precedente, cioè dal rettangolo piano nato dall'arco AO, & lun - - Io8 & lunghezza AC il rettangolo AB, AC, & il re?iduo sarà l'area della portione predetta, ò pure misurata l'AB, ?i sottrarà dalla misu ra dell'arco AO, & il re?iduo dell'arco mul tiplicato per la lunghezza AC darà l'area "della predetta parte. . . . Se poi fo??e da trouar?i il segmento HCG diuiso da vn circolo parallelo HIG al circo lo DAE. L'arco H1G ?i multiplicherà per la lunghezza IC, e poi ?i sottrarà da e??i il ret tangolo fatto dà AB, & ACdue volte, è dup licato, é il re?to sarà il pezzo di Lunetta HCG, come prouo nel preludio prop. 16 , Se poi ?i dourà misurare vna Volta a croce, ?i farà l'i?te??o del tutto, e delle sue parti, perche il Volto à croce, non è altro, che quattro gran Lune , la cui lunghezza , e sponta arriui ?ino alla metà della Volta. PRO P o SI TION E 15. Misurar vn Volto all' antica, terzacuto à crociera. - º . . . Si farà eosì. Sia da misurar?i la Luna, è croce AGI3 terzacuta. Si veda, che semi- , diametro ha l'arco 1B, e ?i fini?ca il quadran te BlC. - - Poi per veder, quanto sarebbe la lunghez za della Luna, se fo??e sopra tutto il circolo su'l piano dal fine A del semidiametro AB ?i tirerà l'AD,e da B la DB,che ?ia è piombo sot-; to la co?ta BGH,& il piombo mandato a ba??o da e??a cada sopra la BO, e poi ?i misurarà la lunghezza AD, che sarà l'i?te??a, che CH. Si multiplicherà dunque con la metà del semi diametro B A, & vn suo settimo la lunghezza - º , sa-ro c - - - - - 1o 4D, e que?ta sarà tutta la superficie CHE ier la metadella tuna, sefo??e e??a Luna inie, G º . Di poi ?i trouerà il pezzo di e??a, che soprauanza ser. rato dalle due parallele CH, IG multiplicando il seno ver?o dell'arco Ic per l'al tezza CH,come sopra propa SND 14- parte 2. e poi l'arco CI - con la CH, e da que?to rettangolo, o piano di numeri sottrahendo quello prodotto del seno verso dell'arco IC multiplicato per CH, e que?to re?iduo sarà la superficie CH PG,ci sottrata dalla superficie già ritrouata CHB darà per re?iduo la superficie B1G, che dupplicata faratuttala superficie sola. P RoP ositioNE e Misurare il spatio, che viene occupato, e tagliato dalla Luna nel Volto. º Sicome è ragioneuole misurar le Lune, che certo fan maggiore la superficie dºvri Volto: così è comueniente leuar dal mede ?imo Volto quella superficie, che occupa il spatio della Lunetta, che in altro modo ver rebbe poi con la Lunetta ad accre?cere mol to più la " quello, che vuole il giu?to. Si farà dunque così. - Appendendo vin filo a piombo, ?i trasguar dara douevà a finire è mezzo il Volto la co ?ta della Luneta AB, ehe sarà per e?empio in D, e ?i notera sul muro a squadra in Q : e poi ?i notera il liuello BN, vedendo quan i piombo v'è he per arriuar al Volto» dodi rie ipov e anche per e que - - IO - - - - - e ino a sottrarà vna volta dal semidiame tro DV, e poi il re?iduo NV ?i multiplicherà con la linea dall'A ?ino al Q , dole il piom bo VD trasguardato in squadro col muro r - - - - - - - - - . . . - ; º - - - - - - A. - , - a - - - º t - -, - - - - - º - - - º - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - N , i - - - - - - - Q- . - - termina lalunghezza AQ, e darà la superfi cie del Volto ABSQ, e poi ?i misurerà l'arco SQ , e ?i multiplicherà con la BS, e dara la superficie della Volta TBQS la quale ?i sot trarà dalla SQ3 B,e re?tera la superficie ATB, che dupplicata darà tutta la superficie ABC. - - - a - , - - - - - CAPI To Lo 4 , - Delle"delle Sfere eSferoidi, e sue parti. E delle Sferoidi quadrate. ., la superficie delle Sfere, e sue parti è ?tata tronata da º" e, e porto le sue proue tratt. 31 del ne"si uenti, la superficie poi della sferoide, che d'vn corpo cuale, e si sparti, il cui se?to ?ia vn'Ellip?i, è voltato in tondo, secondo l'a??e maggiore,è minore, è ?tata trouata da me alla prop. 36. del detto trattato, e seguen ti & lin i º capitolo daremo il modo di ritrouarle. , i i i ; º º" PRO - - - 11 i - - PR oPosrrioN E 17. Ritrouar la superficie d'una sfera. Si troui la superficie del circolo ma??imo nella sfera, come habbiamo insegnato prop. 7. parte 1. misurando il suo diametro, che ?ia piedi 14 e poi dicendo sºg. di 22. che da. rà 14? e darà 44 per il circolo ma??imo, la cui area sarà 154 ?i multiplichi poi il circolo ma??imo 254. per 4 è "igli quattro volte, farà 6: 6. e sarà la superficie della sfera. Che se ?i de?idera la snperficie d'vna mezza sfera, pigli per la metà,e farà 3o8. per la superficie d'vna mezza sfera. - Habbiamo poi insegnato alla prop.9. & 1o. tratt. 23 del no?tro Euclide di trouar il dia metro della sfera soda , mà perche quì trat tiamo di misurar le Volte semisferiche, nelle quali potiamo entrare , ba?terà far pa??are vna linea per il centro del Salone tondo, è Camera, o Chiesa, che ?ia, & in caso, che men que?to ?i pote??e hauere, ?i potrà misu rar la circonferenza di e??o, e da e??a cauar ne il diametro, adoprando la regola delle proportioni, dicendo se 22 da 7 che darà la circonferenza da me misuratache ?ia parti - 44º e dara 4 º - PRoPosIT 1oNE 18. Trcuare qualunque superficie di sfera compresa da vin circolo minore. - Sia vn circolo minore nella sfera, cioè quello, che non pa??a per il mezzo di e??a, e la taglia meno che la metà ABC, e ?i troui il polo D, che habbiamo insegnato matemati - . caime Inte - - - Il 2 - camente prop. 19. tratt.3 1. del no?tro Euclide, mà pratticamente ?i trouerà cercando col compa??o vn ponto egualmente di?tante dal la circonferenza del dato circolo, che ?ia D; e poi dal Dall'A ?i tirarà la AD , e que?ta ?i misurerà che ?ia per e??empio palmi 9. Dup plicando dunq; la misura presa, ?i trouarà con e??a come diametro l'area d vn circolo, che sara eguale alla superficie ABOCD com presa dal circolo ABCO. Che se ?i vorrà l' altra portione, ?i misurerà la linea tirata dà A al G, e duplicata ?i farà all'i?te??o modo, è pure ?i sottrara la superficie ritrouata CDA BO dalla superficie intiera di tutta la sfera, & il re?tante sarà la superficie ACBG. Se la sfera fo??e soda, ne ?i pote??e hauere , ne la li A nea AD, ne la linea AG, il modo di ritrouarla è alla prep. 9 tratt. 23- Parte 1. del no?tro Euclide, è pure nella 3, part- seguente pro po?itione 28 P Rop o si Tron E 19 Trouar le superfici de quadrati curuilinei " sfera, e de triangoli, e del settore della srera. - , - Que?ta propo?itione è po?ta a fine di tro uari triangoli delle Cupole, i quali re?tono da quattro archi, che le so?tentono, e dal gi" ro, in cui sono fundate, Sia dunque dato sopra la sfera il quadrato curuilineo ACFE tagliato da quattro circoli CB, AIF, FTE, & CLE. Si trouarà la sua ai da s - -- 1 I3 area, trouandoprima l'area di tutta la sfera e poi l'area delle quattro portioni CLEX » AIFH, ABCD, FEGT eguali - - Trouando vin circolo, il cui semidiametro ?ia eguale a DA , come ho detto, e que?to quadrup plicato ?i sottrarà dall'. area di tutta la sfera , & il re?tante sarà l'area di due quadrangoli curuilinei ACFE , vno da vna parte, l'altro dall'altra, diuiso dunque que?to re?iduo per mezzo, ?i farà l'area del quadrangolo curuilineo ACEF, e se ?i tro uar l'area della portione della sfera com presa dal circolo IBLT, e ?i sottrarà da e??o quadrangolo ACEF , re?taranno i quattro triangoli ABI, e CBL, & FIT, e finalmente ETL. - - Mà se que?ti triangoli fini??ero, né in vn ponto, mà in vn'arco , e fo??ero quadrangoli , all' hora sottrate le quattro por- G tioni comprese ne circoli corn e prima, e se saran- R no 3. è più , o meno, come nella 2. figura conforme saranno, re?taranno due aree , come ABFGHL, le quali partite per mezzo, e da que?to re?iduo leuata l'area sferica chiu ?a del circolo ECD , re?teranno i trè qua drangoli, il terzo della cui ?omma sarà vno di quelli, come CDAB. Nota che i circoli ABC, &c. nelle Cuppole, che le ?o?tentono, non po??ono e??er disuguali , se la Cuppola non è ouata e '. H COROL I 14 C O R O L L I. - Facilmente poi ?i trouarà la superficie del settore della sfera, ponendo in?ieme la su perficie intrapresa dai circolo CEH , e la su perficie del cono retto G RH. PR O P O SI TI O N E 2o. Trouar la superficie d'wna Sferoide, il cui se?to ?ia vn Ellip?i, il cui a??e attorno al quale s'auolge, ?ia o il maggiore, è il minore. Habbiamo prouato alla prop. 37 del no?tro Euclide tratt. 31, che l'i?te??a proportione , che il circolo ha all'Ellip?i, purche habbino vn diametro commune, ha la superficie della sfera, alla superficie della sferoide; e prima alla prop. 24. tratt. 3o. haueuamo Prouatº, che la ?uperficie del circolo, alla superficie dell'Ellip?i, e come il diametro del circolo al diametro dell'Ellip?i. Dunque la super ficie della sfera, alla superficie della Sferoide ex equo, sarà come il diametro del circolo al diametro dell'Ellip?i. IE, D. V - B C. - Sia dunque data i a superficie d vna Sferoi de da " ABCD, ?ia Sferoide" i diametro maggiore serua per affeº ?ia Sf - roide obiusa, & il diametro minore fº l'a?ic, - - - - - - - - - attOII) O I 15 attorno al quale s'auolghi, e ?ia noto l'a??e BA attorno, e sopra al quale s'aggira . Da quello ?i troui la circonferenza del suo cir colo, e di e??o, come di circolo ma??imo trouata l'area, quadrupplicandolo ?i troui la superficie d'wna sfera , a cui po??i seruire di circolo ma??imo, 6 hauendo noto l'altro diametro principale CD, ?i cerchi per la re gola del trè, se EF, è AB da CD, che darà la superficie della sfera EBF A, e darà la su perficie della Sferoide BCDA, che ?i cercaua. Sia data per e??empio la Sferoide,il cui dia metro minore, S a??e ?ia di palmi 5o, il cir colo sarà di giro palmi 157. - l'area del cir colo sarà 1966. 7 la sferica superficie 7864 -; i l'altro diametro ?ia palmi 82. Si dirà dunque se 5c. danno 82. che darà la super ficie della sfera 7864. ;-, e darà 12897. super ficie globosa della Sferoide. Potra??i anche trouare la superficie dell'Ellip?i, che la taglia per mezzo come di CD, che sarà 3224. -- , e quadrupplicarla, e darà l'i?te??o 12896. -3 - Si può anche fare trouando trà il diametro maggiore 82. e 5o minore vina media pro portionale , che sarà 64 & vn poco di più multiplicandoli in?ieme, e sottrahendo la ra dice quadra , e della sfera ch'habbi que?to diametro trouarne l'area 12872. qua?i quan to prima, benche con la media proportiona le , che alle volte non ?i troua tanto giu?ta ne numeri, non venga l'i?te??o preci?amente, è però la propo?itione euidente nel no?tro Eu clide, prop. 37. tratt. 31. Per ritrouar poi l'area d'wna Cuppola Olla le in quanto all'altezza, e tonda in quanto al giro - 3 H 2 Si - I 16 Si prenderà la metà della superficie troua ta come ?opra, nella quale l'a??e, attorno al qual s'auolge sarà la sua altezza pre?a dal mezzo, e l'altro a??e sarà il diametro del cir colo, in cui ?i fonda . PR O POSITI O N E 21. Trouar l'area d'wna porrione di Sferoide, meno che la metà tagliata da vn piano paral. lelo alla sua ba?e. Non vi deue e??er alcuna difficoltà, è tro uar l'area della metà d'wna sferoide, perche ba?ta prender la metà del numero precedente; mà quando la portione sarà minore della me tà tagliata da vn piano parallelo all'a??e CD; ?i douerà procederà que?to modo. Si trouerà l'area della portione VBS della sfera fatta dell'a??e, attorno a cui s'auolge, come di BA, e ?i mi?urerà VS, & XT, e poi con la regola delle proportioni ?i dirà; se VS uD Va - H-HME linea, dà la linea XT , che darà la superficie della portione della sfera VBS, e quello, che ne viene , sarà la portione della superficie della sferoide acuta XBT; que?ta prop. ?i rac coglie dalla prop. 36 tratt. 3 I. del no?tro Eti clide, è pure dirai ?e TX dà VS che darà TBX, & quello ne viene sarà la portione della sfe roide obtusa SBV . E per - I 17 E per darnevn'e?empio ?ia la subtensa nel circolo della sfera VB, la quale dupplicata ?ia palmi 47. la circonferenza sarà palmi 147 ;- del semidiametro de quali 23- 7-1, è semi circonferenza 73. -à. Si cauarà l'area del suo circolo, la quale sarà palmi quadri 1732 Sia poi la subten?a VS, Ie8. è facendo numero più picciolo la metà, palmi 54 e la metà d'XT palmi 3o. Adoprando dunque la regola del trè, ?i dirà se 54. mi danno 3o che darà 1732. e darà per area palmi quadrati 962. -- Si potrà anche fare, trouando vina media proportionale trà l'VS, & XT, & vn'altra trà EF, & CD di que?ta proportionale farnevn circolo, e l'altra già trouata accommodarla dentro all'i?te??o circolo, e diuidendola per l mezzo tirargli vina perpendicolare, e dall' - vna, e l'altra, doue fini?cono nel circole ti rare vna linea, e di que?ta, come semidiame tro trouar vn circolo , che sarà eguale alla superficie XBT, come Prouo nel Coroll del la prop. 37 tratte 3 I P RoPosITI o NE 22e Misurare vna quarta parte della superficie d'vna Volta è padiglione, e sue parti. Sopra habbiamo in?egnato mi?urarvna tal Volta,che habbi per suo se?to il semicircolo, hora per hauer po?ta la propo?itione prece dente, in cui que?ta ?i fonda, diamo la re gola di trouarla sopravn Ellip?i. Sia dunque l'ottaua parte della superficie d'vna Volta a padiglione ABC, il cui se?to ABD ?ia vn'Ellip?i, ?i mi?urarà BD normale alla metà della Volta, S DA altezza » BC H 3 metà I 18 - - - - metà della lunghezza, e ?i trouàrà con que?ti due semidiametri la superficie d'vma semisfe roide, come HALB, il cui circolo della ba?e habbi per semidiametro BD, che farà ancora semia??e della mezza semiellip?i BDA,ò di tut ta HAL, che la forma,8 il cui a??e,attorno al quale s'auolge ?ia DA, come habbiamo in ?egnato di ?opra prop. 2o. e poi ?i dirà con la regola delle proportioni, se HBL linea cir colare, dà la lunghezza di e??a BC , che darà la ?uperficie della semisferoide HBLA già ri trouata, e quello ne viene, sarà la preci?a su t" della metà della quarta parte d'wna olta à Padiglione fatta ?opra vin quadran golo, è quadrato, e l'i?te??o auerrà della me tà d'vna quinta parte d'vn Pentagono,ò qual ?i?ia altra figura regolare, è irregolare retti linea, purche ?i po??a hauere la perpendico lare BD ?ino al mezzo D, la lunghezza BC di e??a pre?a da B , e l'altezza perpendicolare DA pre?a dal mezzo di e??a e V H C Si farà l'i?te??o delle parti della Volta pre detta tagliata da vn piano Orizontale, per che misurata la PT normale predetta, la TA altezza, S& PN lunghezza, ?i trouerà la ?u perficie della portione VPSA d'vn pezzo di sferoide , e poi ?i dirà con la regola delle pro portioni, I 19 portioni, ?e VPScircolo da la PN lunghez za, che darà la superficie della portione del la sferoide VPSA, e donerà la superficie pre cita PA N della Portione della Volta è Padi glione BAC. - - Si preua que?ta prattica alla prop. 18. dell'. appendice al no?tro Euclide. Ma perche la superficie della sfera è alla superficie della sferoide parte I. prop. 27. tratt. 21 come la circonferenza della ba?e della sfera alla circonferenza della ba?e del la sferoide, e per la prop. 1 8. dell'appendice all'Fucide no?tro, la superficie della sferoi de alla superficie dell'ottaua parte della Vol ta quadrata, e come la circonferenza della bale della sferoide alla sua lunghezza. Dun que ex equo la superficie della sfera sarà alla superficie dell'ottaua parte della Volta di ba?e quadrata , come la circonferenza alla lunghezza dell'ottaua parte della Volta qua drata. E però per trouarla, in vece di trouar la superficie della sferoide, più breuemente, e facilmente ?i potra trouar la ?uperficie della sfera : però nella propo?itione, doue ?i tratta di trouar la superficie di e??a con la DA ?ola, come semidiametro, ?i trouarà la superficie d'vna semisfera, è pur la superficie d vna Par te di e??a tagliata all'i?te??a altezza, che TA, e poi ?i adoprarà il giro del circolo della detta sfera, o della sua portione nel primo luogo: nella regola del trè, la lunghezza BC, è PN nel ?econdo, nel terzo la superficie della sfe ra,o tua portione corri?pondentemente: Et ciò potra?i fare , se bene la ?uperficie della sfera CAB non fo??e quadrata, è bis longa, ma fo??e ?opra qualunque altra figura H 4 regola. i2e - regolare, è irregolare, per e?empio fo??e d'- vna Volta ?ituata sopra vin Pentagono , Se??agono, Scc. PRO POSITIONE 23. Misurare vna Lunetta Elliptica, è Volto à crociera fatto ?opra il semigiro d'vn'Ellip?i, e le ?ue parti. Sia data la Lunetra , è quarta parte del Volto à crociera AEGB fatto col ?e?to, e ?o pra il giro della semiellip?i AEB,che ?i debba misurare. Si misurerà prima la CB semia??e, la CE altro a??e della Ellip?i AEB, & EG lun ghezza della Luna, e poi ?i trouerà la super ficie d'una semisfera, il cui semidiametro, at torno al quale s'agiri ?ia CE, e la circòferenza del circolo,il cui radio EC,e poi per la regola del tre ?i dira, ?e la circonferenza predetta dona GE altezza della Luna, che darà la su perficie della semisfera , e quello , che ne viene ?i conseruarà da parte. D'indi?i multi plicherà EG per la circonferenza AEB, e da que?to ptodotto ?i ?ottrarà il primo, 3 il re fiduo sarà l'area d'e??a Lunet “é º º \E N L-IT ). 13 G A B e A. . Per trouar poi la parte di e??a compre?a da linee parallele EG,& LN, ?i trouarà la ?uper ficie - - 121 ficie d'wna portione di semisfera, il cui sega mento del diametro ?ia ET, che misuri la ?ua altezza, e la cui subtensa TL ?ia semidiame tro al circolo della base dell'i?te??a portione; del quale anche ?i trouerà la circonferenza, e poi con la regola delle proportioni ?i dirà, se la circonferenza del semidiametro TL dà l'altezza della Luna EG, che darà la super ficie della portione disfera, il cui semidiame tro è EG l'altezzaTE,eTL subtésa,e ?i sertia rà il prodotto. Dà poi ?i misurerà l'arco EL,e ?i multiplicherà per l'altezza EG, e ?i sottrarà l'area ritrouata prima per la regola delle pro portioni da que?ta, é il re?to sarà la ?uper?i cie della parte di Luna EG, LN. Seguono que?te propo?itioni dalla prope 18. dell'appendice al no?tro Euclide, e dalla propo?itione po?ta al principio di que?to » mediâte la deduttione in fine della preceden te propo?itione. PRO POSITION E 24. Trouar la ?uperficie d'una Piramide con caua di base quadrata , è rettangola, o di qualunque in?criptibile in e??a - Chi ben con?idera BCA piramide concaua, à cui dà il se?to BAE triangolo mixtilineo a non è altro, ch'vna metà d'wna Lunetta vol tata all'insù, e che la ?ua ottaua parte BE T ATB è l'i?te??o della metà della Lunetta YXV, come habbiamo prouato alla prop. 56 del no?tro Euclide. Onde sarà l'i?te??o trouar la superficie dell'ottaua parte della piramide concaua, che trouar la superficie d'vna metà d'vna Lunetta, che sesarà quadrata, ba?terà - -tat- tra - Il 22 multiplicarla poi per 8. che ?e non sarà qua drata, ma rettangola, bi?ognera tra nar la ?uperficie di due Lunette, cioè di BATFI , e di ATPOI , e multi licarpcia?cuna per 4 e così ?i hauerà tutta la superficie. Per trouar la superficie d'wna parte taglia ta da linee parallele, ?i farà l'i?te??o, trouan do la superficie d'una portione di Lunetta, per e??empio della MNV , che seruirà per la superficie FIA portione della Piramide con Calla e Per trouar poi la supe: ficie di qualche fi gura, o curuilinea, o rettilinea in?criptibile, ò nel quadrato deila ba?e, o nel rettangolo s v?arà la regola delle proportioni, mi?uran do prima la circonferenza, è contorni, tanto della ba?e quadrata, o rettangola BO, quan to della rettilinea in?critta, è curuilinea R i S, e poi trouata come ?opra la ?uperficie della Piramide concaua fatta sù l'i?te??o si ?to, è " BAG, che è ROS, in tal modo, che la BG ?ia l'i?te??a, che RS l'altezza ?iari", - - C 11 I 23 , - - - - - e li due ambiti ?iano i medemi, è ?iano archi di circoli, è d'Ellip?i. Si dirà, se l'ambito è onto rno della ba - Q. ?e BTCG , dà il contorno RTS a che darà la super ficie della Pirami de concaua BAC i e darà la ?uperfi cie dell'altra RO ST ; e l'i?te??o f facci delle sue par ti . Que?to vltimo però non l'a??eri? co come eaidente, perche non ne ho - portato alcuna proua nel no?tro Euclide. PRO P O SI TI O N E 25. Trotiar la ?uperficie d'wn corpo, che con?ti di fascie piane, e circolari, che ?iano in?crit te, o circonferitte à vna sfera , e la ?uperficie delle ?ue parti. i – - - - - Per ?aper la quantità del corpo ABDC, che con?ta di fa?cie piane come è HOST, e l'altre in?critte, come dimo?tra la figura , che s'auolgono attorno alla sfera, sarà nece??ario prima sapere la AD, e la SD. ll che ?i farà mettendo due righe SQ 2 e DX, che ?i tra? guardino, a ponti S,e D, le quali ?iano paral lele mi?urando la lor di?tanza perpendicolar mente, e così ?i farà per saperla AD, e poi ?i multiplicherà l'Vna con l'altra , e dal pro dotto ?i sottrarà la radice quadra, e con que: ?to numero, come se fo??e gnsemiasmº - - I 24 ?i trouarà l'area d'un circolo, come in?egno alla prop.7, p. 1. E que?ta sarà eguale à tutte le superfici delle predette fa?cie, 8 in con?e guenza alla ?uperficie di tutto il corpo . Si potrà anche fare con pi gliare le di?tanze rette di OS, & HT, e tutti gli altri dia metri degiri, ne quali ?i con giongono, e que?ti ridurli in vna somma, e poi mi?urare la loro altezza AS, è ST , è qualique e??endo tutte egua li, e multiplicare que?ta al tezza con la somma predet S a Ng ta, e leuarne dal prodotto la S G radice quadra, e con que?ta radice, comese fo??e la mi?u ar S ra d'vn semidiametro, tro -1- uar l'area d'wn circolo, che ?arà eguale a tutte quelle ?uperfici, come prouo alla propo?itione 41. tratt. 3 I. - - Che se ?i richiede la superficie delle parti, per e??empio della parte HAT, ?i prenderà la di?tanza intiera di tutti i ponti, e diametri di . tutti i circoli, ne quali ?i congiongono, ec cetto che dell'Vltimo, e più grande, di cui ?i prenderà la metà, co?i nel no?tro e??enpio ?i prenderà tutto OS, e la metà del diametro HT, e congiongendoli in vina somma, ?imul tiplicherà con l'altezza ST, e dal prodotto ?i sottrarà la radice quadra, e di e??a, come di semidiametro seruendo?i, ?i trouarà la ?uper º ficie d'un circolo, che sarà eguale alla ?uper ficie delle due fa?ce OAS, & HOST. Che se fo??e il corpo ouale , e le fascie . fo??ero ; -, I2 fo??ero inscritte in vina sferoide,comeris. all' hora doppo hauer trouato la superficie delle fascie in ?critte della sfera alte egual mente, il cui diametro fo??e 4.1. eguale è BD, ?i dirà se 4-1. diametro mi dà 6.5.a??e più corto della sferoide, che mi darà la superficie delle fascie in ?critte nella sfera, il cui diametro è 1.4.già ritrouata eguale a AD diametro della sfera ACDB, e fatta l'operatione verrà la su perficie di tutte le fa?cie 1.2.3. &c. E ciò ho prouato prop. 36 tratt. 31. del no?tro Eucli de, e delle parti ?i farà l'i?te??o, perche doppo hauer trouata la superficie delle fascie equi alte d'vna portione di sfera , la cui altezza ?ia 9.1. vguale à VA, ?i dirà adoprando la re gola delle proportioni se CB, o DA, è 1.4. dà l'a??e 5.6. della sferoide, che darà la super ficie della fa?ce della portione della sfera VA, e darà la superficie delle fa?ce equialte in scritte nella portione della sferoide alta quanto 9.1. o VA, e ciò prouo nel citato luogo - PRO P O SI TI ON E 26. Trouar la superficie d'wn corpo globoso i" di due portioni di circoli, ma tondo di 2St e - Sia data vina Volta da misurare tonda, e circolare di pianta, ma il se?to della sua Vol ta ?ia vna portione di circolo, quale è il ?e ?to delle Cuppole ben fatte, e delle Mete an tiche, come ARQN, la cui base RNQ è cir colare, e l'eleuatione AR, AQ è di due por tioni di circolo, finisca nel ponto A, è pure non fini?ca, non importa. Si | 126 Si troui il semidiametro del se?to di e??a AQ, e ?ia OM, e ?i misuri l'altezza OA; di V . poi ?i troui la su perficie della se. - misfera PVMS, il cui semidiametro ?ia il ritrouato OM , e poi ?i tro ui anche la ?uper ficie del segmen to della sfera L : AVH, la cui saetta, e normale AV, ?ia la d. fferenza, trà l OA altezza, S. OM semidia metro, e que?ta portione LAHV di superfi cie ?i leuara dalla superficie della semisfera PV MS, e re?terà la superficie della PLHM . f) indi ?i trouerà la circonferenza RNQ del la Cuppola RAQN, e la circonferenza PSM della semisfera, e dira?i adoprando la regola delle proportioni; se PSM circonferenza dà la circonferenza RNQ, che darà la PLHM, superficie della portione sferica ? e fatto il - conto, quello, che ne verrà, sarà l'area glo bosa della Cuppola RAQN,& à que?to modo ?i potranno misurare le superfici delle Mete antiche, che erano co?i fatte. In vece delle circonferenze potrai anche adoprare i dia metri - CA PI To Lo 5. - Della superficie delli anelli, e corpi spirali, &a nelli spirali. a - Le superfici di que?ti corpi , e ma??ime delli anelli, qualche volta po??ono venir in vso , come se vi sarà qualche anfiteatro, è - piazza tonda, è Chicsa, che d'attorno habbi V Il 127 e, - vn portico il cui Volto ?i vada aggirando at torno ad e??a, certa cosa è, chela superficie d'vn tal Portico è l'i?te??a, che dºvr mezzo anello, e però dou a saper?i il modo di misu rarlo - PRO P O SI TI o N E 7. Misurare la superficie d'un anello. Sia data da misurar?i la superficie d'un anelloABCGH.Si misurino,ò per via di conti dati i diametri, ?i trouino le due circonferen ze ABG del circolo medio tra il ma??imo e?te riore, quale è N LO , S il minimo interiore AC & dell'altro circolo, che nasce dalla gro??ezza dell'anello mede?imo LGMH, e ?i multiPlichi l'Vna circonferenza con l'altra, º il Prodotto, sara la superficie dell'anello. Si Proua nel Coroll della prop. 41. tratt. 3 . mentre che ?i a??erisce, che la superficie in teriore ALC tanto manca dall' ambito del circolo di mezzo, quanto la superficie e?te ºre cre?ce sopra alla mede?ima circonfe ICIAZ2 . onde ponendo la parte, che soprauarza alla maggiore con la minore tutte ?i vens" 128 - ad vguagliare alla circonferenza del circolo di mezzo e PR OPO SIT I O N E 28. Trouar la superficie d'vn pezzo d'anello. Sia dato vin pezzo d'anello VOSR, ?i mi suri l'arco VS , che fa il circolo di mezzo mediocre frà tutti i circoli disegnabili nella sua superficie, e ?i multiplichi con la circon ferenza del circolo LGMH, che na?ce dal suo taglio , 8 il prodotto sara l'area del predetto anello. PRO P O SI TI O N E 29. Trouar la superficie interiore, è e?teriore di qualunque anello. E?teriore superficie è quella nell'anello,che cinge la metà dell'anello da quella parte, che è più lontana dal centro di tutto l'ambito dell'anello, S. ha il circolo ma??imo NLO, che po??i descriuer?i in tutta la superficie amollare. - L'interiore è quella, che è più vicina al centro di mezzo di tutto l'anello, 8 in se ha il circolo minimo AC, che ?i po??i de?critte re sù l i?te??a circonferenza, 8 i due circoli mezzani frà tutti, de quali l'Vn è ABCG, le diuide. Per trouar dunque que?te superfici ?i tro uarà tutta la superficie dell'anello, e ?i partirà in due, poi misurato, è calcolato il circolo ma??imo NLMO , se ne leuarà il mezzano ABCG, è il minimo interno AC ?i sottrarà dal medio , e la differenza ?i multipli" CI - I 29 per il diametro della settione HG, & que?to Prodotto ?i sottrarà dalla metà della trouata superficie dell'anello, e ne verrà la superfi cie interna: ?i aggiungerà all'altra metà, e ?i farà la superficie e?terna. Nasce que?ta re gola dalla prop. 34 dell'appendice al no ?tro Euclide. - PR o PosITI o NE ,o. Trouar la superficie d'wn anello a fascie. Sia l'anello i5, i à fascie con?tituito da d'uerse superfici piane per e??er la settione BfR dell'anello figura qualunque rettilinea, Per e?empio Pentagonà,è Quadrata,S&c. Que?ta ?i misurarà conforme habbiamo in segnato di sopra è trouar l'area de segmenti de, coni: & acciò ?i veda, s'imagini pa??are la linea CV per il centro dell'anello, e poi a lei ?i tirino le due linee BO, & AP, che con uerranno in V, e s'intenda agirar?i VB attor no º farà vina superficie di cono per la diff, 1. tratte 34 la cui base sarà BOA - ; Si trouarà dunque la superficie della por tione ABOP di que?to ino VAoB, come - I ?ì ! C 13e - - - insegno alla prop. 8. parte 1. che è vina delle superfici dell'anello, e co?i sarà trouata vna superficie d'vna sua fascia, ed all'i?te??o mo do ?i trouaranno le altre, eccetto che la su perficie, sopra cui ?i posa, se sarà super?icie, e la sua parallela, se vi sarà. Perche que?ta sarà vin anello piano , il cui diametro sarà TF, e la cui larghezza sarà RP, e se que?to auerrà, ?i farà l'i?te??o, che della superficie dell'anello piano, come mo?tro alla prop. 1o parte 1. E prima dourà misurar?i TR, e la TF semidiametri de circoli , che chiudono le superfici, e la RF larghezza, 5 operare se condo habbiamo insegnato di sopra - PR o P O SI rioNE 3 le Trouar la superficie d'vn corpo spirale egualmente alto. Sia dato il corpo spirale ABC, DEF, e ?i vogli sapere la superficie che lo circonda, La spira DOEF, e al circolo DMN base del cilindro dell'i?te??a altezza fatto col semidia metro DF, che la comprende, come 1 a 2. per la mia prop. 13. tratt. 18. & tale per e??er dell'i?te??a altezza sarà la superficie DoEF , ABC alla superficie del cilindro AN. Onde misurata la superficie del cilindro AN, e di quella presa la metà sarà la super ficie del corpo spirale egualmente alto - PRO P O SI TI O N E 3 z. Trouar la superficie à piombo d'vn corpo spirale di pianta, e d'altezza. Sia il corpo spirale AVFEOD d'altezza, e di pianta, la quale ?ia FEOD, e ?i chieda la super I 31 - - superficie, che s'auolge attorno ad vn tal corpo AQVFEOD. Si trouerà la superficie – del cilindro ambiente - p -S - A ADMN, e ?i spartirà º in trè parti, C Vina parte di quelle sarà la - superficie ambiente A- . Nº-ºlk 2 QVFEOD . Que?ta mia propo?itione è dà - me mo?trata prop.ai - trattato 35, del no?tro VA ò- E PEuclide. Che se è la secondaè terza spira, è qualfi uoglia, all' hora ?i multiplicherà la circon ferenza minore per l'altezza del cilindro comprendente, e di quel numero generato ?i prenderà la metà, e poi ?i leuarà la circonfe renza minore dalla maggiore, 6 il re?iduo ?i multiplicarà con l'altezza del cilindro com prendente, e del prodotto ?i prenderà il ter zo, e la somma della metà, e terzo, sarà l' area della superficie de?iderata, ?i fonda nel la prop. 19 tratt. 28. e suo Coroll. aggiunto l anuertimento, che habbiamo po?to nel pre ludio auanti la prop. 19. perche sono all'hora quelle superfici spirali progre??ioni che va no mancando da vin lato ?ino al fine dell'i?te?º ?o lato, e dall'altro nò,come iui diciamo - PR o PosITI o N E 33. Trouar la superficie, che ascenda spiral mente attorno ad vn cilindro. 'Que?ta superficie è come d'wna scala a lu naca, che ascenda senza gradini, è vn sof 2 - fitto - I 32 - - fitto di e??o piano: E per trouarla bi?ognerà sapere la lunghezza della sua spira e?teriore M NO, & interiore YQR, ?in tanto ritorni al mede?imo piombo , d'onde cominciò, le quali, se non ?i potranno misurare, ?i otter ranno multiplicando M VST circolo in se, e l'altezza MO in se ?te??a, 6 vrtiti ambi i prodotti in?ieme, dà eflo se ne cauarà la ra dice quadra. - - E quella sarà la lun-- ghezza della spira MNO, O & in tal modo ?i trouarà la spira QRY data la cir conferenza YX, e l'altez za del cilindro più piccio lo interiore PR, e poi ?i aggiungerà l'Vna spira M MANº con l'altra QRY, e ?i prenderà la metà della V somma , che ?i multipli cherà per QR larghezza, di cui saran note le misure, é il prodotto da que?ta multiplica tione sarà la superficie de?iderata . Che se fo??e cutua , come OCR presa è squadra della spira la sua circonferenza do uerà multiplicar?i la metà predetta per la cir col.ferenza i?te?la OCR in scambio della OR linea retta - l - Se poi il piano spirale non s'auolge??e at torno al cilindro FX , mà fini??e nell'a??e i?te??o dei" iY all'hora ?i prenderà l' altezza dell'a??e YI in scambio della linea spirale QRY , e ?i farà l'i?te??o, che sopra e PRO - I3 3 e Roposition e, ” Trouar la superficie, che descende per vm ! " corpo doppiamente spirale , e per altezza, e r ampiezza - - r- - - t - t sia data la superficie descendente ACVLF per il corpospirale AQVFEOD della propo " ! ?itione 31. , la quale ?ia nece??ario misurare, ? ?i multiplichera la metà del giro DMN per se i. ?te??o, di cui il semidiametro è la DF, e co?i anche l'altezza del cilindro DA, e ?i vniran l no in?ieme, e dalla somma ?i sottrarà la ra M dice quadra, che ?ia H, e poi ?i trouarà, co me habbiamo insegnato di sopra prop. 16. l arte 1. il piano spirale DOEF, e con l'aiuto . " della regola del trè, ?i dirà, se la metà della circonferenza DNM , dà la radice quadra H, li che darà il piano spirale DOEF, e darà la su perficie, che ?i richiede ACLVF descendente l per il detto corpo AQVFEO D: Si fonda nel ; le prop. 1o. tratt. 28 del no?tro Euclide, e que?ta regola serue anche per le seconde, e ; f terze spire, ma bisogna prima aggiungere il ?i maggiore semicircolo al semicircolo minore, e di quello pigliarne la metà , che ne viene, º & adoprarlo in vece della metà del maggiore ; semicircolo multiplicandolo in se, Stc. Si fonda que?ta regola nella prop. 1o. tratt. 2s. e nella prop. 9. tratt- 14- parte 2. del no ?tro Euclide, benchene nell'Vna , ne nell'al i , tra ?ia espre??amente prouata - P R o Posit IoNE ss. Modo di misurare le circonferenze dell' Ellip?i. - - - Col fundamento della prop. 67. tratt. 24. del no?tro Euclide habbiamo trouato la cir, I 3 - COI) - a - a 34 conferenza di ss. semiellip?i, il cui diametro maggiore è onze 72 il minore è succe??iºa mente dà 72. ?ino è 3. le quali ?i po tranno transferire a qual?i?ia alrra Elli p?i à que?to modo. Poniamo dunque, che habbiamo misurata vna Ellip?i - in cui tutto il diametro maggiore ?ia on ze 144. & il minore semia??e 42. Dico dunque con la regola del trè se onze 144. mi danno 42. che daranno onze 72 & haueremo onze 21. Trouaremo dun que nella tauola onze 2t & all'incon: tro prenderemo il giro della semiellipi onze 91. iº . Diremo dunque se 21; 4a 91. e -è che darà 42? e ci produrrà la circóferenza 182, z d'vna semiellip?is il cui a??e maggiore ?ia 144. & il semi affe minore 42. onze. Se poi non ?i tro ua??e nella tauola il numero del semi a?ie minore dell'Ellip?i , all'hora ?i prenderà la parte proportionale trà i vna semiellip?i , e l'altra corrispon dente alle minutie , del semia??e, che ?i cerea. Habbiamo po?to qui la misura di 3. onze, di cui il diametro maggiore delle circonferenze delle semiellip?i sa' hà 72e - 135 Tauola degiri Elliptici di onze 72. semiellipº A??esemiellip. la??e semielli, ore 2oiº o e o 'onze e. - - - - - on.7 e 2o. - - - - - a T -- se - l 4 l il 5 gg 1s - ; rolli, sia Troli,3 oa T 74 4liº 85 12| 27 l99 13 - - - - | - - - - - - - s- ossa - 75 ol!7 86 16l 23 l io1 3 s|18 ss 7 clzo lro2 n. 77 ºli lº2 L ºlsi luo; 4 79 Clº! 21 I41 32 | I cº7 4 i - - - - - - - - - Ii - --- -- I l 13 O 2 i 123- – º 33 | 108 4 º ?i I 2 i 81 4llº i 94 6|34 | 1 Io 6 - 1 13 l82 clºt 95 . . rallº: i 111 18 ? s- - - - - - - s- - -“º circolo l:6 | i 13 13 s-- -- se- e-- - - - P A R T E T E R Z A. Delle dimen?ioni de corpi . º Inalmente ?iamo gionti all' vltimo sº è intento di que?to breue Trattato di misurari corpi, e ?icome la mi sura delle linee, ?i fa con le linee, - - la misura delle superficii con i - quadri, così la misura de corpi ?i fa con va corpo, 6 all'hora ?i dice e??er misuratovn corpo, quando ?i sà quanti corpi cubi con I 4 - - tenga a 136 e tenga, i quali contino d'wn'i?te?a, e deter minatà misurà , secondo le trè dimentioni º altezza, larghezza, lunghezza, e quando i corpi sono cubi, o almeno con?tano d'angoli retti, e superfici rettilinee, non è difficile capire, come vn tal corpo col cubo po??i e??er misurato. Ma quando il corpo è totalmen te lontano dall'e??er cubico, all'hora per via d'argomenti ha bisognato, che i Mate matici venghino nella pretesa cognizione , non senza e?trema acutezza, gran ?ttidio, e ?ingolare faticha , con i quali anch'io n'hò cubicato più d'uno, come potrà veder?i in que?ta terza parte, CAPITo Lo 1. Per misurare ogni corpo contenuto da sue perfici piane . do Per saper le misure de corpi fa bisogno il più delle volte sapere la loro altezza perpen dicolare, per hauer la quale prodotta vna linea parallela alla base dalla cima, è ?ia pia na, o acuta, come della Piramide, dà quel la ?i tirarà vna linea perpendicolare alla base, e quella ?i misurarà per l'altezza, - , PRO P o SI TI O N E r. Misurar vn Pila?tro, è ?ia Dado, è qua lunque corpo contenuto da sei superfici pia ne, e parallele data la b se i - Si misuri l'altezza, e quella ?i multiplichi per il numero della base, 8 il numero gene rato sarà la solidita de?iat. La base poi come piana, sarà nota , o potra, misurar?i dalle Precedenti propo?itioni, Di??i N 137 - - - - - - - - - - - Di??i ?i misuri l'altezza ON, e non il lato A , perche se fo??e alle sue ba?i obliquo, co me LM, ?i deue misurare la perpendicolare NO , e que?ta multiplicare per la base - Con?ta dalla prop. 5 e 6 tratt. 34 del no?tro Euclide. - - 1M O - E, - Pere?empio ?ia data vna base HB,ò LN, è quadrata , è bislonga, è rombo , o romboi de, la cui area ?ia di piedi 36 e le superfici elleuate, è retta, è obliquamente sopra e??a ?iano parallele, e la sua altezza perpendico lare BA, o ON ?ia piedi 9. ?i multiplichi 9. per 36. e ne resulterà la solidità di piedi cubi 324: & à que?to modo ?i misureranno tutti i muri pendenti, e fuori di piombo. - PR O P O STI O N E 2. Misurare ogni corpo di superfici rettili nee, che habbi i lati paralleli, è retto, o ob liquo ?ituato sopra qualunque data base di figura rettilinea, tanto perfetta, quanto im erfetta . - - Que?to ?i misurarà all'i?te??o modo, per che misurata la base, come habbiamo inse gnato nella parte i e la sua altezza perpen dicolare, que?ta ?i multiplicherà per il ni: mero r 33 mero della base, 8 il prodotto sarà il nume ro de piedi cubi, che fanno la solidità della detta figura. - Que?ta propo?itione ?i raccoglie dalla pro po?itione 19. e 23. tratt. 24. Solo s'ha d'auer tire per la prop. 16 dell'i?te??o,che nel Prisma triangolare, se ?i multiplica la base quadran golare, ?i deue il prodotto partire per mezzo, mà se ?i mnltiplica la base triangolare, il pro dotto è la misura del gorpo senza altra diui ?ione - E così ?i misureranno tutti i muri a scarpa prendo la scarpa lorº come Prisma, la cui base ?ia quadrangulare, e se volgeran?i, e il cantone per ambe le parti ?ia a scarpa ?i misurera come segue - - - PR o P o SIT Io N E 3. “Trouar la solidità dºvra Piramide po?ta sopra qualunque base, è retta , è obliqua, data l'area della base. - Si mºltiplichi prima la base ABC per l'al tezza FA presa con vna linea, o filo FA per E pendicolare all'i?te??a base, e que?to prodotto ?i partis ca in trè parti, e la terza parte sarà la solidità richie ?ta della Piramide, e è que: l angoli de muri a scarpa , ?to modo ?i misureranno gli facendo vina Piramide, la cui base quadrata ?ia quan: to e?ce la scarpa fuori dal IB A. viuo, e l'altezza ?ia l'i?te??a, che del muro presa però, come sempre ?i farà, à piombo. º La - , 139 - - La prattica è da noi pronata prop 2: tratt. 34. dei no?tro Euclide in quanto alle Pirami di di ba?i triangolari , S in quanto all'altre nè seguita , perche ogni altra sorre fi diuide in tanti triangoli, che sono ba?i a tanti Pris mi dell'i?te??a altezza, e percio di tante Pira midi , le quali di ciascun di e??i sono la terza parte, e però di tutti saranno la terza parte º P Ro Posit I oN E 4. Trouar la solidità d'wn pezzo di Piramide quadrandola di ba?i parallele, - Sia dato vin pezzo di Piramide EFGHPA CB da misurare. Si misurino i lati, e ?i sot traga quel di sopra da qnello di sotto PB da GH, & AB da FG , e la differenza ?i diuida per mezzo, e ?i congionga con il lato minore la sua a ciascuno, per e?empio la semidiffe: renza EQ all'AB, e la semidifferenza d' OH à BP, e poi deuon?i multiplicar in?ieme AB, - - EQ prese in?ieme, con BP , OH, & il pro dotto ?i multiplichi con l'altezza RA presa perpendicolarmente, e ?i serui il prodotto i che ?i dira primo, e così ?i facci delle due se midifferenze EQ, OH, e ?i multiplichino in ?ieme, 8 il prodotto ?i multiplichi con il ter zo dell'altezza RA, & il prodotto ?i chiama rà secondo. Vnito dunque que?to secondo prodotto col primo, farà la solidità del pez zo della Piramide ACB EGHF, come prouo alla prop. º 5. del no?tro Euclide tratt. 34. Che se fo??e triangolare la base , ?i pren derà di due prodotti la metà . Che se non fo? se di ba?i parallele, prima tirando le linee equidi?tanti alla base, si farà parallelai il re?to rago - - re?to ?i misurerà come corpo irregolare, è pur anche tutta, come ?i dirà. O pure ?i farà così se ?i potrà, po?te due righe l'Vna soprail ma??imo, e l'altra sopra il minimo lato. Si an daranno finalmente à ferire in qualche pon to Q, hora da que?to ?i facci cadere vina nor male QS al piano superiore V1S, e pure dall' i?te??o Q se ne facci cader vin' altra PQ sopra il piano inferiore Te, e ?i misuri l'wna, el'al tra, e poi misurata l'area XVI ?i multiplichi per il terzo dell'altezza SQ . Così T e per il terzo dell'altezza PO , e ?i sottraga il nume ro generato minore dal maggiore, & il rima nente ?arà la solidità del pezzo di Piramide VXIT c. - PR O POSITION E 5. Misurare qualunque corpo regolare, è ir regolare, che con?ti di superfici piane rego lari, che ?iano attorno al centro. - Sono cinque i corpi regolari, come proto alla prop. 12. tratt. 23. del no?tro Euclide Il Tettaedro, che è la Piramide fatta di tri angoli - I 4 I - angoli eguali. Il Cubo di quadri eguali. L'Octoedro d'otto triangoli vguali. Il Do decaedro che con?ta di dodeci pentagoni eguali. L'Isocaedro, che con?ta di 2o. tri angoli eguali, 5 in que?ti 4. ?i dà sempre vna superficie, come anche insegna il Clauio l. 5. ce 4. n. 4. e 5. parallela all'altra . Da que?ti poi ne nascono molti altri corpi, tagliando gl'angolisodi di e??i rettamente, i quali con ?tono di due sorti di figure, per e?empio d' ottagoni, e quadrati, di pentagoni, e trian goli, di triangoli, e quadrati, le quali figure tutte sono frà se vguali, quando sono dell' i?te??a specie, per e?empio tutti i quadrati saranno fra loro eguali, e sempre ?i darà in . e??i qualche superficie equidi?tante dall'altra, perche sempre re?tono in qualche parte le prime superfici di cinque corpi regolari. Per misurar dunque que?ti corpi ?i farà in que?to modo. - - Si e?tenderanno i piani paralleli dell'ifte??a specie, mettendo due righe per sopra,e??i, che ?i trasguardino, e fra l'Vna, e l'altra ?i misu terà in squadra, e ?i prenderà la metà di que ?ta misura, e que?ta sarà la di?tanza della da- . ta superficie del corpo dato dal centro, e mi surata quella i?te?a superficie, ?i multipliche rà per la terza parte della presa misura dal centro, ouero per tutta, 6 il prodotto ?i par tirà in trè parti, e que?ta sarà la solidità d'wna Piramide, che fundata sù la superficie e?te riore misurata peruieme al centro con la sua ponta. Si misurino dunque così le altre su perfici), º il prodotto ?i multiplichi per il numero delle superfici, e que?ta sara la so lidità de corpi regolari. Che se il corpo fo??e - - 1IIC I 4? - irregolare, e con?ta ?e, come ?i è detto di su Perficli di specie differenti, ?i farà in ciascuna specie l'i?te??a operatione, e nè verrà la soli dita dell'i?te??o corpo. P a o Position e s . Trouar la solidità dºvr corpo irregolare circonscritto alla sfera di superfici piane, e fra loro ineguali. a - Se vi sara qualunque corpo, del qual ?i sappi, che tutti i suoi piani tocchino la su perficie della sfera, che vuol dir e??er circon scritto ad e??a, per saper la sua solidita, ?i mi sureranno tutte le sue superfici piane, e ?i procurerà hauer il diametro della sfera, met têdo vn piano come vina tauola sopravn pia no di e??a, e l'altra, se pur vi sara, sopra l'al tro a que?to parallelo, e misurando normal mente dall' vno, e l'altro, che quella misu ra sarà del diametro. Misurate dunque le su perfici, di ciascuna ?i trouarà l'area,é il loro piano, e poi s'vniranno tutti i piani calcula ti in?ieme, 6 il terzo della somma ?i multi plicherà per il semidiametro, e que?ta sarà la solidità; o pure ?i multiplicherà tutta la som ma delle superfici per il terzo del semidia metro, e ne verrà l'i?te??o, come prouo tratt 34 prop. 45 del no?tro Euclide. - PR O Pos IT 1 o NE 7. Trouar la solidità d'vn corpo irregolare, tanto di ba?i , quanto di solidità circondato da superfici piane . - Que?to non ?i può fare, se non à poco a Poco misurando ciascuna Piramide e?teriore, e poi, e - - I 43 e poi succe??iuamente quello, che re?ta. sia dunque dato il corpo A BRCD. Si mistarino i lati DB, 6 CA , e po?ta vna righa DQ so l Pra D linea oppo?ta parallela al lato CA, e ?i misurarà perpendicolarmente la di?tanza C Q , e così dell'altro lato DB per saper l'HB perpendicolare, le cui metà multiplicheran?i per i lati CA, e DB. f l E così s'haueranno l'aree dedue triangoli, in cui ?i diuide la base, BC che se fo??ero i lati più di quattro, come cinque bisognerà far que?to a trè angoli per hauer l'area di trè triangoli, poiche qualunque figura rettilinea in tanti triangoli ti può subdiuider,e in quan ti sono i lati leuarene due, e così ?i troucran no le ?uperfici di tutte le ba?i . L'altezza poi delle Piramidi ?i prenderà, mettendo vin piano, è tauola alla ponta i del la Piramide ABICD parallelo ai lati AB , BD , DC, e misurando la di?tanza dai lati ?i no à quello perpedicolarméte,ò davn piano, che pa??i per e??i, mettendo sopra due di e??i due righe, 6 vna tauola sopra e??e, sù la qua le dal piano po?to alla ponta i parallelo ad e??o cada la perpendicolare, e di que?ta ma niera ?i potrà trouar data l'altezza iasosia - l - I - di ie le Piramidi, come ?i è detto della Piram de DABCI, e della ABDCR, e della ABRV, e della CDR i, e della ARCO, & ?i vedrà se le ba?i, sopra le quali sono ?ituate, sono ?tate più di 5: & all' hora quello, che re?ta , ?i doura anche diuidere in più Pirami di , per e?empio in due, e se sono solo le su perfici; 5. ?i potrà diuidere in due, ma non sara nece??ario se sono 4 quello, che re?ta è vna Piramide. Nel no?tro caso sono 5.A 81 C, ABR, BDR,ACR, CD R ba?i, le quali fanno due Piramidi triangulari, o vna Piramide quadrata, della quale sappiano la base CB DA. E per saper l'aitezza alla ponta R ?i por rà vna tauola RX parallela a due lati oppo?ti della base, per e?empio C A, & A B, e ?i mi surerà la sua di?tanza perpendicolare alla ba se ABCD, e ?i multiplichera come sopra il terzo dell'altezza per tutta la base, e così ?i hauera la solidità della Piramide interna BA Che se R non fo??e ?tato vin angolo, ma vn piano di 5 angoli non parallelo all'altro, all'hora à tutti gl' angoli ?i sarebbe po?ta la tauola parallela alli lati della base, e ?i sareb be diuiso il spatio solido in 5. Piramidi, e poi sopra all'i?te??o piano R po?ta la tauola, ?i sarebbe tirata vina normale alla mede?ima tauola, e così multiplicando il piano R per il terzo dell'altezza , s'hauerà la solidità di tutto il corpo interno po?to che R non fo??e ?tato angolo, ma piano - - C A P I T O LO 2. - Del misurare ogni sorte di Cilindro,ò Cono I Cilindri non solo sono quelli,che hanno la base circolare, ma Elliptica, pigliandoli - . - - anche T45 anche in più largo ?ignificato, quelli, che hanno qualunque base , che con?ti di linee curue, è semicurue, come che ?iano ?itua te sopravna base parabolica, è ?imile, e" tutti sarà l'i?te??a regola nella seguente prof. PRO POSITION E 3. , Misurare qualunque Cilindro, è obliquo, è retto di ba?i parallele data vina base. Prodotta la base AB ?i farà cadere dal pon to Cvna perpendicolare, che ?ia CD, e que ?ta ?i misurerà. E ?i multiplicherà con la base data AB, & il prodotto sarà la solidità di qualunque Cilindro di sopra spiegato di qualunque base, purche ?ijno parallele, ?i proua nella prop. i. 6. s. 23. del tratt. 34 del no?tro Euclide - - PR o PositionE ». Trouar la solidità d'vn Cilindre di ba?i non parallele, è retto, o obliquo. Si troui il minimo lato BA, & il ma??imo CD , comeinsegno prop. 3. parte 2. 6 dall'. Vno , all'altro ?i tiri la linea CB, e DA, e sopra a quella po?ta la righa da I centro, e meri,CB , ?i facci pa??ar vn'altra righa iF Parallela, º che intraguardi la prima, e ?i In 1Stiri la di?tanza EF perpendicolarmente, e multiplicando la base conosciuta DA per l' altezza EF sarà la solidità del Cilindro, e que?ta 146 que?ta propo?itione s'intende solo de Cilia diri circolari, è Elliptici, non d'ogni sorte. IE AN chese fo??evaaportione di cilindrete me MNo, che vina setticne MO tocca??e l'al: tra, ?i trouarà la sua altezza normale NO e que?ta ?i diuiderà per mezzo, e ?i multipliche ri per la ba?e,e ?i produrrà la ?olidità del Pº zo di cilindro MNO. P R OP O SI TI O N E ie Mi?ura i coni ?ituati ?opra qualunqueº ?e, data e??a ba?e. e – 2 Il cono è vina figura soda come vºlº pirami de tonda, come ABC, il quale ?e ?ia º da mi?urare, ?ia retto, ?ia obliquo, oºººº la ba ?e, o parte, è tutta per la prop 4- del no?tro Euclide tratt. 34 non importa ?ia sºr" ba?e circolare o eliptica per la prop. 27:ºl i?te?o, è di qualunque per la prop 19 po?tº º " cipio e preludio di que?tolibro, tutto Viene i mede?imo. 347 - l si multiplichi l'area della ba?e occupata per l la ?ua altezza normale, e del prodotto se nè B prenda il terzo,e que?ta ?arà la ?olidità del cono per la 7a del no?tro Euclide tratt. 34. º pure ?i multiplichi il terzo della ba?e per tutta l'altez - C A º e nè ri?ulterà il mede?i ImO » - PR O P O SI TI O N E I 1. Trouar la ?olidità d vn pezzo di cono cir colare. Si mi?urino le circòferenze LMN, & OpO, ! & i ?emidiametri SM, QT, supremi , 6 infi mi , & l'altezza VM , & ?i iottraga il mi l nore dal maggiore, S al minore ?i aggiùga la metà della differenza de diametri, o tutta de l ?emidiametri , 6 la ?omma ?i multiplichi con la metà della ?omma della circonferenza mi nore vnita con la meta della loro differenza, & il prodotto per l'altezza VM, fi come la º metà delle differenze predette, ?i multiplichi frà ?e, e poi per il terzo dell'altezza VM, & ?i congionga con il primo prodotto, e la ?omma ?arà la de?iderata solidità, come prouo nella ; prop. 1 3. tratt. 34 Perche colà lo mo?tro eguale ad vn prisma triangolare , il quale per ba?e habbi vn triangolo di º ESAL lati delle predette ?omme & à vn terzo d'un pri?ma di ba?e " con?tante Tì o g Q S E B delle ?emidifferenze pre - dette - - - - E?empioTo ?ia 21. l'SM 17 i ?emidiame K 2 tri º 248 ritairesenza fari 3. i e l'aggregato a 1. la circonferenza LMN ?ia 1 1o la maggio re OPQ 132 la ?emidifferenza 11. l'aggregae to 121. la metà 6o. - Multiplicato 2 1. per 6o. i da l'area di piedi quadri 127r. che per l' - altezza p. 7. multiplicata da piedi cubi 8897. la differenza 3. - multiplicata per i 1. da vn' area di piedi quadri 38. - la cui metà 19. - i" con l'alttezza p. 7. da piedi cubi a 34- -, il cui terzo 44. Tºr di ?olidità con i piedi cubi 3897. fa la ?olidità del pezzo di cono LQ piedi cubi 8941. 4i Ma ?e fo??e vincono di ba?i non parallele all'hora non ?i potrà mi?urare , ?e non ?i sà l' apice, in cui andarebbe a finire, Sc all'hora ?i mi?urarà come due coni, de quali ?i appi l' altezza, e la ba?e. Per e?empio ?ia il pezzo di cono BCED da mi?urar?i, e ?i po?si col mette re due righe al lato maggiore EB, & minore CD, che vadino a toccar?i in A , ?apere il pò to A doue ?e fo??e perfetto andarebbe a finire, e poi po?ta vna righa ?opra BC ?uper ficie ?uperiore far cader dall' A vna norli le FA al piano BC, e ?arà l'altezza del cono,che manca, di poi all' E D base ?i facci l'i?te??o, e GA ?ia altezza di tutto il cono. Misurata dunque l'area delle ba?i BC, & ED, ?i multi plicherà E per il terzo dell'altezza GA, e la 8C per il terzo dell' altezza FA, & il pros dotto secondo minore ?i sottrarà dal primo, " & il re?to sarà la solidità del pezzo del cono BCED. - i - . . PR O POSITION E 12. Trouar la solidità d'wn cono scauato in contrario. - Sia il pezzo di cono BADC, è che finisca in vna base CD, è che finisca in ponta in Os e ?ia come sopra della di lui base CD erretto il cono contrario CDO, e que?to s'intenda scauato d'vn cauo conico , che finisca nel centro, è nel ponto O, come BAO. Si troua rà la sua solidità è que?to modo. - - , - Si faccia da parte sopra qualche piano l' angolo QAD, e ?ia vin lato lungo quanto A9 , dal cui e?tremo O cada vna normale 9I: la quale ?i misuri, e ?i prenda il terzo, e Poi ?i trouivn circolo eguale alla superficie 3 C ti è -- 15e turna del pezzo di cono CBAD, che lo cir conda, come habbiamo insegnato di sopra: prop. s. parte e que?to circolo ?i multiplichi per il terzo della normale oLgº il prºdottº sarà la solidità del cono cauo BACD, è uero BACDo. Auuerta?i, che la superficie, a cui ?i deue tronare vn circolo eguale e confor: mesintende della sola superficie curua del pezzo del cono CARD senza la superficie del cono oppo?to CDO , la quale non ?i con?idera. Delle altre vacuità di qualunque corpo ?i dirà a ba??o: p, Ro POSITI ON E 13. Trouar la solidità d'un cono, che finisca in vma linea, è retto: è obliquo. vn'altro corpo differente dà tutti quelli, che fin'hora sono ?tati cubati habbiamo ri dotto alla cubatione prop. 26. tratt. 34 del no?tro Euclide , & è d'vn cono, il quale in scambio di finire in vin ponto, finisca in vina linea, come è il cono DTCHAB. Il quale ?ituatosopra la base TCHD, è tonda, è el liptica, và à finire nella linea AB parallela alla base - v. Per misurar dunque la - B.- - A solidità di que?to cono ?i lº multiplichi la data base DTCH per il terzo dell'al tezza misurata con vnali Ce D mea perpendicolare ad e??a “Er- base, e poi di que?to nu mere, che da que?ta multiplicatione risulta, se ne prenda la metà e ?i aggionga a tutto il prodotto predettodella base col terzo dell' altezza, e que?ta sarà la solidità del sºnº 2 A B D ABDTCH, cemeprouo alla prop. 26. trattº g4. del no?tro Euclide. PRO POSITION E 14. Trouar la sodezza d'wn'ongia Cilindrica: L'ongia Cilindrica è vin taglio, che ?i fà in vn pezzo di Cilindro obliquamente,come preso dal circolo, è Ellip?i ABC dall'Elli p?i ADC, e dalla superficie del Cilindro AB DC. Si misurarà dunque l'HA , e la BD, e multiplicando l'HA per la metà di HB. Si formarà l'area del trian- C golo AHB , que?t'area dun que ?i multiplichi per tutta la QSA BD, e vn terzo di e??a, Stil prodotto sarà il sodo dell'on gia ABCD. Si proua nel Co roll della prop. Io 11 e 12. dell'Appendice del no?tro Euclide i . CAPITO LO 3. Della dimen?ione delle sfere, e sferoidi quadrate, delle volte, e loro parti. - Sfere , o sferoidi quadrate chiamiamo quelle, le quali hauendo per base vn quadre, piegando?i nell'elleuar?i le loro superfici, finiscono in va ponto, come le volte a Pa diglione, se fo??ero piene: e sarà sfera quella, che ha per se?to vri circolo,sferoide quella , che tiene per suo se?to va Ellip?i. E que?to corpo, che io sappia, non è mai ?tato con?i derato da alcuno, mà io l'hò ridotto al cubo, alla prop. 43. tratt. 34. & alla prop. 43. tratt. 35 e finalmente nell'Appendice alla prop. 7. e seguenti» N 4 PRO ” e RoposITIoNE 1s. Misurarvna sfera, è sferoide quadratº , sia da misurar?i via semisfera, o semisfe roide quadrata ABCDO . Si misuri º lº oA della base AB quadrata, e que?ta dºpº plicata per farl'area quadrupplicatº ?i multi plichi in se ?te??a. Si misuri poi la sua altezº CT, e se ne prenda il terzo e ?i multiplici con l'area quadrupla dell'area AB già ri trouata, e il prodotto sarà la sfera defi derata. - - - Per e?empio ?ia il lato - C AO piedi 4. dupplicata fà s. multiplicata in se fà 64. - il terzo dell'altezza CT 2. piedi è i che multiplichi 64 e farà 42 - , e que?ta è A la solidità della data sfera quadrata. Il che ?i proua nel Coroll. della prop. 48. e così ?i farà se fo??e vina sferoide, e solo differirà nelle misure, perche nella sfera quadrata CT non sarà più lunga della metà del lato AO. O pure ?i farà coto di misurare vin Pila?tro, la cui base ?ia due terzi della AB alto quanto la CD . Per effempio i due terzi della base AB piedi i 6. sono 1o. - multiplicati per 4 fanno 42. - come prima, e que?to proto nella prop. 36. tratt. 35 c o R o LL. . Da que?to ?i potrà conoscere la metàACO. B Diuidendo per mezzo il numero predetto, la quarta CAOTsubdiuidendo il numero già diuiso - 1.53 diuiso vn'altra volta per mezzo, e finalmen te l'ottaua ACIT diuidendo la sua solidità per 8. C O R O L L. 2. Se que?ta sfera fo??e vacua di dentro, ?i mi. surarà prima il pieno, e se ne cauerà la sua solidita, e poi doppo il voto, e pure se ne l trouarà il suo spatio, e que?to ?i sottrarà da quello, e ne verrà la gro?ta soda, che la for ma , & è que?to modo doneranno misurar?i tutte le volte à Padiglione di turta monta, il cui se?to è vn semicircolo, le quali non sono l se non le semisfere quadrate descritte. PR O P O SI TI O N E 16. Trouar la solidità d'vn corpo cubo, che ve?ta la predetta sfera, o sferoide. Que?ta propo?itione serue ottimamente per misurar le Volte quadratesù 'l mezzo tondo, è sù vna mezza Ellip?i, le quali hanno i suoi rinf a chi pieni, perche que?to è il corpo, del ? qua e cerchiamo le misure . Sia dunque il corpo di superfici piane ABLC, e ?i con?i deri, come se fo??e leuata via la semisfera, è semisferoide quadrata ABNMO, e di que?to corpo ?i cerchi la solidità. Si misurarà come se ?i mi- B A. º sura??e vna Piramide alta quanto MC, la cui base fo?- Mi se MN AB, à cui prouo e??er ITV, eguale Prop. 51. tratt. 35. Si L mistari dunque il lato MN, O che ?ia 5. e ?i multiplichi in C se , conseguentemente sarà 25. l'altezza MC sarà 2. - se ne prenda vm terzo,sarannoi , ?i mtliti 154 - mºltiplichi dunque 25. per e saranne º i – , cioè piedi Io. -- PR O POSITION E 17. Trouar la solidità d'una lunetta, il cui se?to ?ia vin semicircolo, ovna semiellip?i, è tozza, o suelta. Habbiamo prouato prop. ; 1. tratt. 35. del no?tro Euclide Coroll. 2. che la Lunetta è eguale a vn pezzo d'vn mezzo Cilindro lun go quanto è la sua lunghezza, che habbi per sua base la semiellip?i, è il semicircolo se?to della Lunetta, leuata però vina Piramide alta quanto è l'altezza del semia??e, o semidia metro normale del suo se?to, ch'habbi per base vn rettangolo fatto della detta lunghez za, e dell'a??e Orizontale, è diametro dell'. Ellip?i, o semicircolo, e que?to s'intende sup po?to, che ?ia la Lunetta soda, e non vacua, come vacue sono quelle de Volti: C 6 ) Sia per e?empio data la Lunetta soda AB CDEH, come se fo??e piena del corpo,la cui base fo??e il triangolo AHB, e fo??e termina ta dalle superfici ADB se?to, e modolo della Lunetta CHB, & AHC, che pa??ono per l' angolo, che ?i congionge col Volto, º CUM º 155 la Lunetta ?i trona ; e dalla superficie ina della mede?ima Lunetta A DCB. Si misuri l'. a??e Orizontale AB , P6. l'a??e normale ED 3. l'altezza DC 9. e la circonferenza ADB 19 Si troui prima il semicilindro, è peròi cui la base ADB data AB, che in area ?ia di piedi 14. -; ?i multiplichi per DC piedi 9. e darà piedi cubi 128. - per il semicilindro, che ?i cerca. Da poi ?i multiplichi a B 6 per ED 3. darà per area 18. e que?to ?i multiplichi per vn terzo di DC altezza, e ?i farà 54 piedi cu bi per la Piramide, la quale sottrata dal pri mo trouato darà 74 , per la solidità della Luna ACBD. - PR O P O SI TI O N E 18. - - Tronar la sodezza d'wn corpo, che ve?te, e contiene la Lunetta. Il corpo, che contiene la Lunetta, e quel ?i lo, che re?ta sottrata la mede?ima Lunetta da vn Prisma, la cui base ?ia vin rettangolo FGAB, che contiene il semicircolo, è semi ellip?i ADB, che forma la Lunetta, e attor no a cui s'auolge , e l'altezza ?ia DC lunghez za della mede?ima Luna. - Però trouata la base FB rettangolo, C " lun- - derà la metà"Sº G pa ghezza DC, ?i pren, e ?i multiplicherà con la base BF, e da que?to numero pro- - B, dotto ?i leuarà la -- - Lunetta già ritrouata, & il re?tante sarà la solidità FDCGAB, e per darne va'essio d I 6 - la " fù trouata 18. e DC era 9. nella prece dente propo?itione, multiplicando dunque 13. per 4 - fa 81. la Lunetta fu ritrouata piedi 74 : dunque leuato que?to numerº da quello re?tara la solidità piedi cubi 6 - E que?ta misura è propriamente delle lunette de Voiti, purche ?iano rinfianchate ?ino alla cima dell'arco dell'i?te?e Lunette - C O R O L Le Quindi è che ?i potrà anche misurare vin Volto à croce che ?ia pieno , e rinfiancato fino alla cima della Volta, perche la Lunct ta è la quarta parte di quello, con?tando e??o di 4 Lunette e - Dal Coroll, dalla prop. 36. del no?tro Eu clide ?i raccoglie di trouar tutti que?ti corpi, che nascono dalla sfera quadrata, perche fa cendo vin Prisma alto quanto è il semidiame tro lungo, quanto è il diametro quadruppli cato, se ?i diuide in 28 parti saranno 22- la solidità del Cilindro 6. la solidità del corpo ambiente. La quarta Parte della sfera qua drata 4. -, e tutta 18 -. La Lunetta sarà 5. i , e le due Lunette 1 1. L'inuolto d'wna quar ta parte della sfera 2- 3- , & il corpo che in uolge la Lunetta solo i P R O P O SI TI O NE a9. - Trouar in altro modo la solidità d'vna sfera » è sferoide quadrata, e delle sue parti. Que?ti 187 Que?ta maniera di cubicar le sfere, o le sferoidi l'hò po?ta nell'App ndice del no?tro Euclide prop 1o. & è calcularla à modo d'wn Prisma triangolare, e d'vna Piramide, a cui colà le mo?tro eguali. - Sia dunque dato la quarta parte d'una se misfera , è d'vna semisferoide PMD, che tanto ba?ta, e ?ia il circolo, è Ellip?i che gli dà il modolo, e la genera HODM . Si tirarà dalla D all' H vna linea retta, e misurato H M , & MD, ?i trouarà l'area del triangolo H DM , e que?ta ?i multiplicherà con l'altezza NM, e sarà il Prisma, e doppo con il terzo " della lunghezza i?te??a NM , e sara la Pira ti mide , che vniti in vina sol somma faranno la solidità della quarta parte della semisfera data PMHN D. t Se poi ?i vorrà tutta la semisfera, la som ma ?i multiplicherà per quattro, e se tutta la sfera per otto,e se ?i vorrà vacua, come vina Volta à Padiglione, ?i sottrarà vna sfera mi nore da vna maggiore quanto è gro??a la Vol ta, e ?i otterrà la solidità della mede?ima Volta e Per e?empio HM ?ia pie di 2 MD piedi 2. dunque il triangolo HMD sarà piedi quadri 2. che multi plicato con HM, è MN piedi 2 farà piedi 4. multi plicato di nuouo per i l'1 iº del lato MN, che da !. - onde portano della sfera, che è PDM sarà piedi 5 - che multiplicato per 8 darà 42. - come prima. - Mà se fo??e vna parte sola di semisfera o semis 153. - semisferoide eomeTCD tagliata dà vr piano parallelo alla base, all'hora bisognara finire il quadrante del circolo dell' Ellip?i CCD, e vedere doue và à finire in HM , & all'hora far il triangolo HMD, indi trouar l'area del la sua portione BDC, che re?ta in?critta nella parte data del quadrante Elliptico, è circola re, e poi multiplicare l'area di BDC con tutta la lunghezza HM aggiunta la linea IB, che re?ta dalla BC sottrata dalla HM, & il pro dotto sarà il Prisma, che ?i richiede. Si mul tiplicherà anche la mede?ima area BCD per il terzo della lunghezza BC, e que?ta sarà il sodo della Piramide, la quale con la solidità , della Prisma trouato eguagliarà la solidità della parte sferica, è sferoidale DTC, come i" alla prop. 1o dell'appendice al no?tro uclide e - l'inuolto poi corporeo di que?ta quarta parte di sferoide, e sue parti, facilmente ?i troua facendo vin sodo, come d'un Pila?tro, la cui base ?ia PM, e l'altezza DM, multipli cando PM base per la MD. e da quella sot trahendo la quarta parte della sfera, è sferoi de DPM , & in quanto alle parti ?i farà vin sodo d'vn Pila?tro, la cui base numerica ?ia l'area IC multiplicata per l'altezza DC, e da que?to ?i sottrarà la parte TDC della sfera, ò sferoide. - PR O POSITION E 2o. Trouar la corpolenza d'una Sferoide lun gi e sue rarti, il cui se?to ?ia va quarto di llip?i, è d'wn circolo in due modi. Vna sferoide lunga è quella, la quale è fatta I 59 fatta sopravn rettangolo, il cui lato ?ia più lungo dell'altro, e l'altezza, è l'i?te??a, che vn lato, è differente d'ambidue, come è la MNV : dunque per ritronarla que?to sarà il primo modo. Si misurarà TN lato minore, e M altezza, e con que?te misure ?i trouarà il sodo d'vna sfera, osfereide quadrata P. MN , come habbiamo insegnato nell'ante cedente; E poi misurato l'altro, ?i dirà ado Prando la regola delle proportioni, se il lato PT, è TN eguali frà loro dà TV, che darà la solidità della sfera, è sferoide quadrata PMN ? e quello, che ne verrà sarà il sodo della sferoide lunga VXTMN. ritº F-v Per e?empio ?ia NM, TN, TP piedidue, e però la sfera quadrata PNM piedi sodi 5, i ?ia il latoVT piedi 5.se dique PT piedi 2 dà i V piedi 5. che darà il sodo PNM ? e fatta l'operatione da piedi cubi 13. . . E l'i?te??a regola sofferuera delle parti, per che trouata la sodezza della portiene OLM della sfera quadrata MPN, ?i dirà con la re gola delle proportioni; se OY da YK, che darà il sodo della portione OML della sfera, è sferoide quadrata PMN è e quello ne viene sara il sodo della portione KML della sferei de lunga VMN. Que?ta - 16o ue?ta propo?itione ?i proua nella prop. 9 dell Appendice al no?tro Euclide nell'cor. 1. e nell'i?te??a prop. ?i proua, che ?i potrebbe anche adoprare in scambio PT, & TV la base PN, & VN, e co?i in vece della linea OY » YR la base OL, OK, e l'vna operatione po trà seruire di proua all'altra. Il secondo modo fundato nella prop. 12 dell'i?te??a Appendice sarà così. Sia data la sfercide lunga, della quale ?i cerchi la soli dità ABC. Si troui l'e?tentione del triangolo BSC mi surata SC, e CB, di poi ?i facci di quello vn Prisma, multipli cando per la lunghez za CD misurata , ?i prenda d'indi il terzo - D A dell'i?te??a altezza C. D, e ?i multiplichi per l'area dell'i?te??o tri angolo, é il prodotto ?i congionga con l'al tre, e sarà la somma il sodo della ABC, o pure più breuemente ?i multiplichi l'area del triangolo SBC per CD tutta, e vn terzo di a e??a, e quello ?i produrrà dalla multiplicatio - ne sarà il sodo della sferoide lunga ABCt). Sia CS piedi 5. CB piedi 2 e DC piedi 2. il triangolo SCB sarà 5. piedi quadri, fi mul tiplichi dunque per DC piedi 2. e per vin suo terzo, che sono in tutto 2. i , e farà come prima piedi 1;. - per il sodo d'ABCD . Per misurar le parti, come la GBE tagliate da vn piano parallelo alla base AC ?i tiri vna linea dal vertice B all'S, e ?i facci il tri angolo S8C, e d'onde sega in H a tirivna norma 161 normale IH, e tirata la BD ?i troui l'area del triangolo FEB, e ?i multiplichi per tutta la CS, è AD, eguale, e per la parte SI, ridotta in vna somma , e poi ?i multiplichi l'i?te??o - triangolo FEB per il terzo d'HE, ouero IC, & il prodotto s'vnisca con l'altro, e la somma sarà la sodezza della parte CBE della sferoi de lunga ABC. Il corpo poi rettilineo, che la contiene ?i otterrà, se ?i multiplicherà la base AC per l'. altezza CB, e dal prodotto ?i sottrarà la sfe roide lunga ABC; Et in quanto alle parti ?i otteranno, se la base loro GE ?i multipliche rà per l'altezza EB, e dal prodotto ?i sottrarà la parte CBE della sferoide lunga ABC. P Rop osITI o NE 2r. Trouar la solidità d'una sfera, è sfereide obliqua, e delle sue parti, la cui base ?ia qua drata, è rettangola, Rombo, o Romboide. Sia data la sfera, è sferoide obliqua ASC, ?i misurarà la sua altezza perpendicolare Sf, & que?ta seruirà in vece dell'a??e SC , e con la BC ?i farà il triangolo STM, e que?to ?i - multiplicherà per la lunghezza AB, & vn ter zo di e??a, e sarà la solidità della sfera, o sfe roide quadrata, o rettangola, ma se haue??e per base vn Rombo, è vma Romboide, o ret -ta, o obliqua che ?ia, all'hora per far il tri - angolo, rettangolo ?i adoprara OT perpen dicolare a lati DC, & AB, in loco della BC prop. fundata nella 13. dell'Appendice al no?tro Euclide, e nel Coroll. 1. e 3. Poi ?i ha la cubatione delle patti à que?to modo. Fatto il triangolo MTS, come prima L i I 62 ) ?i trouarà l'area di quella parte, che re?ta trà t il piano QZ parallelo alla base, come ?i pre suppone, che è ZX. Da poi ?i farà il triango - ciù –A - º PSC tirando vra linea retta da sia D,e º e sega il piano QZ in P, ?i tirarà vna pa ºllela al lato SC, cne caderà in R. Si pren da A3 per tanto,e Rio, 8 il terzo di RC, e ?i moltiplichi con l'area ISZ, e sarà fatto va º Po , che sarà eguale alla portione QSZ della sfera, è sferoide non rettangola ASC, e se C Z base fo??e Rombo, o Romboide, in Vece della XZ, ?i adoprarà vna normale a ZP, come mo?tro Coroll. al 3. p. 13. citata. Si potrà anche trouar vm corpo, che vgua gli que?ta sfera, osferoide retta, o obliqua , che ?ia, è sopra la base quadra , è rettan gola, è Rombo, o Romboide, se trouata la base AC ?i quadrupplicherà, e poi?i multipli cherà con il terzo dell'altezza della sfera, è sferoide, come prouo nella prop. 14 dell' i?te??a appendice, ma que?ta regola serue so lo per trasnar tutto il corpo, non per ritro u r la cubatione delle parti - In quanto poi a trouar la solidità del corº po, che nel modo spiegato la circonda - Si trouerà , come habbiamo insegnato, e solº in scambio dell'a??e perpendicolare - non cilen - - 163 È e??endoui quì ?i seruirà dell'altezza TS, o IS per far la multiplicatione, con la base CA. PR o PosIT IoNE 23. Trouar in altro modo la solidità delle lu nette, e sue parti. - Sia data la Lunetta MONQ da misurare, ?i misuri la circonferenza MON , e l'a??e Ori zontale MN, e l'a??e normale RO, e la lun ghezza della Luna OQ, e prima ?i troui l'area della semiellip?i, è semicircolo MON, e ?i multiplichi per la lunghezza OQ della Luna, e que?to sara il primo prodotto; Indi ?i troui l'area del triangolo COR , e ?i multiplichi Q . - N R NA - con la lunghezza RN, & il suo terzo,e que ?to prodotto secondo ?i sottraga dal primo, e quello, che ne verrà, e re?tarà, sarà il sodo della Lunetta MQN. Sia per e?empio l'N CM 14. - l'NM 6. la RO 3. l'OQ 9. La QO multiplicata per l'area 14. i darà 128. - la meta e Q4 - con la RO 3- fa l'area del tri angolo Q9R 13. -, che multiplicata per M R da 4o. -, e 1 . . multiplicata per - d'MR dà i 3. I , S& in?ieme 54. che dedotte da 128. º dà la solidita della Luna 74 , come alla prop. 17. di que?ta parte - 2 Le P L 164. Le parti poi tagliate da piani paralleli alla base MZ N, come è il piano YSX T, che fa la portione YTXSQ ?i troueranno in que?to modo. Prima ?i troitarà l'area della portione del circolo , è dell'Ellip?i Y X, e ?i multi plicherà con la lunghezza OOL e que?to sarà l primo prodotto. Di poi tirata ON ?i farà il triangolo ORN, e ?i trouarà l area della por tione O KI del triangolo ORN tagliata dal piano YST, e per de?ignar il triangolo SPQ ?i tirarà dalla ponta della Lunetta Q vna li nea al centro R, e doue taglia il piano Y IS farà il triangolo SPQ . D'indi ?i misurarà KP, & il terzo di PS ( re?iduo della KS, è a que?ta eguale OQ sottrata la KP ) Si multipli carà dunque il triangolo IOK per la somma di QQ, KP,& il terzo di PS, e que?to prodot to ?i sottrarà dal primo, 6 il re?to sarà il sodo della Lunetta YOXSTQ . - - - Il corpo poi, che ve?te, e circonda la Lu netra ?i trouarà, come habbiamo insegnato, mà il corpo, che ve?te le parti ?i trouarà, se ?i multiplichera la CD con la BC subtensa, e ?i farà l'area ABCD, che ?i multiplicherà con AL normale; D'i ndi leuata la CD dalla lun ghezza IH ?i prenderà la metà d 1H , e ?i mul tiplicherà, con la BC, e di nouo con la AL, e fatta 165 e fatta de due prodotti vina somma, da que?ta ?i sottrarà il pezzo di Lunetta ABOHCD,per che il re?iduo sarà il corpo, che ?i richiede, RI . I N O N FNA ?º Dei C B CAPI Toio 4 - - - . Delle Conoidi rettangole , paraboliche, ), o Iperboliche. Oltre all Ellip?i,che formano la figura eua ta,i Matematici hanno due altre figure, che nascono dalle settioni del cono , le guali sono poco, anzi nulla conosciute dalli Ar chitetti, la Parabola, e l'Iperbole, le quali, non hà dubio potrebbero seruire eggregia mente nelle Volte, mà perche la loro descrit tione non è co?i pronta; però credo, che que ?ta ?ia ?tata la causa, che niuno l'ha po?te in vso, ma??ime supplendo il circolo, e l'Ellip?i ad ogni lor bisogno. Con que?te però ?i for mano corpi, come i primi, ma la doue quelli pa??ata la base ma??ima, che è nel mezzo, ?i cominciono di nuouo à ridur in va ponto, que?ti non hanno niuna base ma??ima, per che quanto più ?i producono , tanto più ?i dilattono in infinito. Le proprietà di que?te due figure le hò de?critte abbondantemente nel tratt. 24 del no?tro Euclide, hora atten derò solo a misurar i corpi, che nascono da e?lc - L 3 PRO 166 - - P RoPosIT Io NE 23. M'surar la Conoide Parabolica di base quadrata, e le sue parti. Sia dato il corpo ABC, il cui se?to , che la forma ?ia CBD Parabola sopra la base quadrata AB. Si misuri CB, e DB, e ?i troui l'area del triangolo DCB multiplicando la metà di DB con tutta la CB, e l'area ritroua ta del triangolo DBC, ?i multiplichi per DB, è AUD eguali frà lcro, & il Prisma, che ?i p" sarà eguale al sodo della Conoide arabolica ACB, come prouo nella propo?i sione 55 tratt. 24 del no?tro Euclide. Che se ?i vorranno saper le parti tagliate dà piani paralleli all' a??e, come FCE l'i?te??a prop. serue, e ?i farà co sì. Il triangolo CEl par. te del triangolo CDB ?i . multiplicherà " " –i l AD, e darà il sodo del I> V A la portione FCE, come nell'i?te??o luogo io prouo, è pure ?i misure ra, come vn'intiera eticndol'ite??a ragione - PRO P O SI TI O N E 24. Trouar la solidità d'wna Conoide Parabo lica, la cui base ?ia va rettangolo lungo, o Rombo, o Romboide, e le sue parti - Sia dato il corpo Conoidale ACBD della precedente propo?itione la cui base ?ia il ret tangolo A b. - Si I67 - - Si trouerà l'area del triangolo DBC, e que ?ta ?i multiplicherà per l'altro lato AD del rettangolo AB, é il prodotto sarà il Conoi de Parabolico de?iderato. E per la cognitio ne delle parti tagliate da piani paralleli alla base, come FE ?i multiplicherà il triangolo IEC per l'i?te??o lato AD, che non serue per base al triangolo DCB , & il prodotto sarà eguale alla parte FEC , e que?ta mia prop. è da me dimo?trata alla prop. 21 dell'Appen dice al no?tro Euclide - - r , Si può anche fare in vin'altro modo, che è trouando la sodezza d'vn Conoide quadrato dell'i?te??o se?to DBC, & altezza BC, come d'ACDB; E poi dire adoprando la regola delle proportioni, se AB da BH ba?i, che darà il sodo ritrouato del Conoide quadrato ACB? & il prodotto sarà HCBD, è pure di cendo, se ADda HD,che darà il sodo del Co noide quadrato ACB ? e quello ne viene sarà la sua solidità . - E così anche ?i trouaranno le parti dicen do doppo hauer trouato la sodezza del seg mento ICL, se IL da FL ba?i, è se IP da PF linee, che darà il sodo ICL, & il prodotto sarà FPCL ; Mà se il Conoide Parabolico fo??e collocato in vaa base, che fo??e Rom L 4 bo, - 168 - bo, o Romboide, ?i trouarà la sua normale, come sarebbe XY, e quella seruirà per base del triangolo CDB in vece della BD - P R O POSITION E 2y. Venir in cognitione della sodezza d'wna Conoide Iperbolica quadrata dato il suo a??e trauerso e - Secondo Appolonio Tianeo, é i Matema tici, che hanno trattato di que?ta figura, non è po??ibile cubarla senza hauer cognitione dell'a??e,però ?i trouarà così. - . Sia dato vin quarto del corpo Conoidale Iperbolico DAB, e l'Iperbole, che lo gene ra, e gli serue di modolo ?ia CBA, e di que ?ta bisogni trouar l'a??e. Si tirarà vna paral lela IX alla base, e poi ?i tirarà vna diago nale dal vertice A al fine C della figura BAC, esegarà la IX in Z, dunque ?i misuri XZ, e la IX, e della XI se ne farà vin quadrato multi Plicandola in se, che ?i diuiderà per la Xz, & il quotiente sarà la lunghezza d'º X, che ti rata dall'i?te??o ponto X arriuarà ?ino all' X, e dal C per Y ?i farà pa??are vna linea CT, la quale incontrarà la BA prolungata in T, & AT sarà il diametro trauerso , che ?i richie de; E così ?i hauerà il triangolo CTB nece??a rio alla cubatione della Conoide. Per misurarla dunque ?i tiri la linea NA parallela alla CB, e ?i misuri l'wna, e l'altra, e l'altezza BA, e perche habbiamo prouato alla prop. 56. tratt. 34. del no?tro Euclide e? ?er eguale è vin Prisma, è vina Piramide tale, quale faremo; Per farne la base, ?i multipli cherà la linea NA con la BC, & il prodotto per 169 - per farneil Prisma ?i multiplicherà per la me tà della BA, e sarà il primo prodotto, e poi ?i prenderà la differenza del NA dalla CB, e que?ta differenza ?i multiplicherà per la Cº, e quello ne viene ?i multiplicherà per il terzo dell'altezza BA per farne la Piramide, e que ?to prodotto secondo ?i sumara col primo e la somma sarà la solidità della Conoide Iper bolica DAB. - - E per conseguire la parte VXA, come proi uo nell'i?te??a propo?itione, ?i multiplicarà º la X2 con la NA, & il numero, che nasce con la metà dell'altezza XA, e que?to prodotto sarà il primo; E poi ?i sottrarà NA da XY, e la differenza ?i multiplicherà per XZ, & il il numero generato ?i multiplicarà per il terzo dell'altezza XA, e que?to secondo prodotto il Vnito in vina somma col primo darà il sodo della portioneVAX del quarto dellaConoide Iperbolica DAB, onde se ?i vorrà tutta la so dezza , ?i multiplicherà per 4. O pure ?i potrà misurare a come se fo??e intiera PRQ, - T ” P Roposition e ss. Trouar la solidità d'una Conoide Iperbo lica, la cui base ?ia vn rettangolo. Sia dato nell'i?te??a figura il quarto d'una Conoide Iperbolica ABD, e ?ia CAB Iperbo le, che la genera per vin lato più lungo che l'altro B8 , done l'Iperbole ABR generante bà la base B R più corta. - - Sºer trouar dunque la solidità d'vn tal cor po, ?i rouarà la NA, e ?i misurerà la NA, CB, RB. BA . Di poi ?i multiplicherà RB con la NA, & il numero generato ?i multi plichera per la metà dell'altezza BA, e que ?to, che ne viene sarà il primo prodorro - Dà i" ?i sattrari la NA dal CB, e la differenza multiplicherà per la RB, & il numero, che ne sorte ?i multiplicarà per il terzo dell'al tezza BA, e que?to secondo prodotto s'ag giungerà col primo in vina somma, la quale sarà il sodo del corpo DAB, che è la quarta parte d'wna Conoide Iperbolica di base lun ga, e que?ta regola prouo alla prop. 27. dell'Appendice al no?tro Euclide. E se ?i vorranno le parti ?i potrà far l'i?te??o, che dell'intiera, è ?i farà qua?i l'i?te??o, come nella precedente , perche ?i multiplicherà i" N A con la SX, & il numero, che ne asce con la metà dell'altezza XA, e que?to mnmero che vien generato sarà il primo pro dotto. D'indi?i sottrarà la N A dalla YX, e la differenza che re?ta ?i multiplicherà con la SX, e que?to numero, che vien prodotto ?i multiplicherà per vin terzo della XA, e que ?tosarà il secondo prodotto, il quale svinirà in vna somma col primo, e que?ta somma sarà - - 171 sarà il sodo della portione VAX della Co noide Iperbolica fatta sopra va rettangolo e C A PI TO LO 5. Delle sfere, e sferoidi tonde, 3 Elliptiche. Non è ?tato nece??ario, che m'affattichi, à trouar inuentione per cubicar le sfere, è sferoidi, come quelle del capitolo preceden te, perche sono ?tati ridotti al cubo da Archi mede i quattro più principali di e??i corpi, la sfera , che nasce dal circolo, la sferoide, che è generata dall'Ellip?i,la Conoide parabolica nata dalla Parabola,o la Conoide Iperbolica, che è formata dall'iperbole, rette, che ?iano, è oblique, purche collocate sopra ba?i circo lari - Però darò le regole per cubicarle caua te dalle sue ingenio?i??ime proue addotte al tratt. 34 del no?tro Euclide. Mà con tutto que?to io ho aggiunto con l'aiuto di Dio al tre cubationi più facili nell'i?te??o trattato, delle quali quì ne aggiungerò le regole, e nell'Appendice al no?tro Euclide ho cubica to que?ti i?te??i corpi po?ti sopra vina Ellip?is cosa molto difficile, e scabrosa, e non solo del tutto, ma delle parti di effe ancora , il che à chi sà la difficolta di cubar i corpi di su perfici curue, non può se non parer opra di lunga faticha, e di gran sforzo d'applicatio ne , come veramente è ?tata - PR O POSITIO NE 27. Calculare la solidità d'wna sfera, e delle sue parti. - Si misuri il suo diametro AB, e con que?to duplicato ?i troui il tondo, o suo circolo, che sarà quadruplo al ma??imo della sfera, e ques N 172 que?to circolo ?i multiplichi col terzo del se midiametro, é il prodotto sarà eguale alla solidità della sfera, perche così ?i forma vin cono à lei in sodezza eguale, come prouo con Archimede prop. 43. tratt. 34 del no?tro - Euclide. - &A r - IIsettore dellasfera è vna portione di e??a contenuta dà vin co - V E no, che la ponta ha nel centro, come SG D, e da vna portione di sfera, che gli serue - per base, come SCD. Hor que?to ?i trouari, trouando prima il polo C, e da e??o prendo la misura ?in là, doue fini?ce la superficie del la sfera D, e que?ta ?ia CD, ehe seruirà di se midiametro per ritrouar vn circolo , la cui area ?imultiplicherà per il terzo del semidia metro della sfera, 8 il prodotto sarà la soli dità del settore SO CD. Per ritrouar poi il corpo della sola portio. ne disfera, trouata la sodezza del settore, ?i trouarà anche il pieno del cono SODG misu rando il diametro SD, e da quello trouando l'area del suo circolo, e que?ta multiplican dola per il terzo di GT re?iduo, e segmento del semidiametro della sfera, ilche fatto ?i leuarà il numero prodotto, che è la cubica tione del cono STLOG,dal sodo del settore già ritrouato SGCO, & il re?iduo sarà il cor po della portione SCD della sfera ACBE. Il fundamento di que?te regole è dà me dimo ftato alla prop. 43 e 44 e suoi coroll. del no?tro Euclide. Mà 173 - Mà perche per ritrouar la solidità della sfera , fà bisogno saper il diametro, però è nece??ario insegnar pratticamente di ritro uarto. Si porranno dunque due tauole VC, QE l'vna contro all' altra parallele, e ?i mi surarà la di?tanza di e??e V ) normalmente, che quella misura e??endo vgnale à CE sarà della sfera, e però del diametro del ma??imo circolo di e??a ; Onde potremo trouar la sua circonferenza. - Che se fo??e vna portione, come SCD bi sognerà col compa??o prender il mezzo tra S, e D che ?ia C, che per a??icurar?i maggior mente, ?i potrà prender da quattro bande del ?i circolo soID, ciò in S, e D , e doppo in O, e nell'oppo?ta parte T. Dà poi presa la misura di Si), e CD, è CS dà parte, ?i farà il trian golo LNM , i cui lati LN, & LM saranno frà loro eguali, é anche alle di?tanze Cix , è SC, e la base LM al diametro SD del circolo che fà base alla portione della sfera, e po?ta la squadra al mezzo di e??i precisamente in G, & H ?i tiraranno le due linee GY, & HY, che andaranno a ferire nel centro della sfera e la di?tanza Nl sarà il semidiametro della sfera che ?i richiede. - - Tutte que?te eperationi l'hò insegnate al tratt. 21. del no?tro Euclide in altro modo, mà que?te sono più addatate alla prattica , quelle alla speculatiua - Si può anche la sfera misurare in altro mo do, & è di trouar la superficie della sfera, e di que?ta multiplicarvn terzo , con tutto il semidiametro, perche co?i faremo v n cubo eguale alla corporeità della sfera, come pro uo alla prop. 46 tratt. 34 del no?trofiº ” proposition e ,s. Trouar la solidità d'vn corpo, che con?ti di fascie piane, e circolari, ?iano inscritte, o circonsciitte alla sfera, e delle sue parti: Sia il cor o daro ABCD, e le fascie ?iano come BHTC, o come HOST. Que?to corpo ?i misura a que?to modo. Prima ?i troua la PG all'i?te?io modo, che ha bbiamo trouato la YI normale alli lati NM, NL eguali alle di?tanze SC, e CD, è pure come habbiamo insegnato alla prop. 25, parte 2. trouaremo la DS , e la DA; e da que?ta Ds sottraremo la metà di DA , & il re?to sarà la GP, e poi come pure habbiamo detto nell'i?te??a prop. trouaremo l'area d'wn circolo eguale alla sa perficie di tutte quelle fasce, e que?ta ?i multi plicherà col terzo della linea GP, e que?to prodotto sarà la solidità di tutta la sfera fatta à fasce D BAC, che habbiamo descritto - Che se vorremo il sodo d'º - - vn suo settore, come H º TG ?i trouarà prima la superficie d'vn circolo eguale alla su perficie globosa HA I , come habbiamo insegnato nella ID cittata propo?itione , e ?i multiplicherà per il terzo di I poi, e que?ta sarà la solidità vi 6 del settore HATG. Per saper poi i sodo della portione sola HAT ?i troua rà la solidita del cono H TG, e que?to corpo ?i sottrara dal at settore già ritronato, e re?ta ra la solidità della portione HAT. Che 175 Che se fo??e il corpo ouale, e le fasce in scritte in vima sferoide,quale è 1.5.4.6. All'ho ra doppo h uer trouato la solidita delle fasce inscritte in vina sfera, il cui diametro ?ia AD eguale a 4.1 a??e maggiore le quali ?iano equialte alle inscritte nella sferoide 1.5.4 6. si dirà se 4 1. diametro mi da 5.6 a??e, che mi darà la solidità delle fasce de la sfera AC i) Bº e quello, che ne risultara , sarà il sodo del corpo fatto a fasce 1.5 4 6. E delle parti ?i farº l'i?te??o: perche doppo hauer trouata la por tione equialta, come AV eguale a 9. l. della sfera à fasce ACDB . Si dirà con la regola delle proportioni: se CB,ò AD dall'a??e 5. 6. che darà il sodo della portione fatta a fasce, la cui altezza ?ia VA, e quello me riuiene sarà la solidità della portione alta quanto " 9 I. del corpo a fasce ouale 1.5.4 6 P RoPosIT IoNE 9. - Saper la solidità d'wna sferoide, e sue parti, la cui base ?ia vin circolo . - Daremo prima l'inuentione d'Archimede di cubar que?ta sorte di sferoidi , e poi la no?tra - - Sia da trouar?i la solidità della mezza sfe roide ABCT, la cui settione per l a??e ?ia il circolo BTC, o obliqua poi, o retta, che ?ia non importa, è ?ia diametro del circolo l'a??e maggiore, è minore, ciò non varia la rego la si troui il circolo BIC, e la sua superficie dato il suo diametro BC, che ?i douera misu rare, come habbiamo misurato il diametro della sfera, e que?t'area ?i dupplichera, e poi ?i multiplichera per il terzo dell'altro semi a fie 176 - - a??e OA, e que?ta solidità sarà eguale alla se misferoide BAC, e per farla eguale à tutta ?i dupl cherà , o ?i quadruplicherà l'area del cir colo della base, e poi ?i multiplicherà per il - terzo dell altro semia??e, e verrà tutta la so lidità della sferoide. - - Per conseguire poi - A la sodezza della Por tione NAM ?i prende vA4 SN, " N metro NM del circo N lo, base dell'a??igna C A - B ta portione NAM, e con quello ?i trouerà T: l'area del circolo NO M . Si trouerà anche l'a??e AO, & la portio ne dell'a??e i O, e ?i misurarà l'vno, e l'altro, cioè AO, & IO, e daimbi due se ne farà vina scºmma, e multiplicando il piano del circo lo trouato per il terzo d'IA. ?i farà vin co no MAN, e poi ?i dirà se il pezzo 1O dà il semia??e AO ridotto in vina somma con il pezzo i?te?o 10,che darà la solidità del ritro uato cono NA M , e quello, che dall'opera tione della regola del trè ne nasce sarà la so lidità della portione della sferoide N AM. E que?ta operatione è da me dimo?trata prop. 39 e4o. tratt. 34 del no?tro Euclide. Il secondo modo no?tro, il quale è anche commune alle sfere è di ritrouar l'area del ma??imo circolo, che la taglia per mezzo BT C , e quella multiplicare per l'altezza OA, e poi per il terzo d'e??a altezza OA, e que?ta solidità sottrarla dall altra, S il re?iduo del la sottratione sarà il sodo della mezza sferoi de, è sfera BAC, come proue di mia specu latione - - 177 - latione alla propo?itione 36. e Coroll. 2. della propo?itione 37. tratt. 34, - Per saper poi le parti; VQY base ?i multi plicarà per il terzo d'AI, e poi CTB base per il terzo SA , & il primo prodotto ?i sottrarà dal secondo, e di que?ta sottratione il re?i duo,che sarà il pezzo di cono PRVQY ?i sot trarà dalla base CTB multiplicata per tutto SI e quello re?ta sarà il sodo della portione del la sferoide OSZ, Opure ?i farà così, come pur anche prouo prop. 38. del detto trattato. Si sottrarà il semidiametro IV del circolo base della portione comica rouer?ia YAV dal se midiametro AC della base della metà della sferoide, e del cono inscritto APR, e sarà la differenza CX- - PR –i-AR IN 5 T LI a E-i-pc riti E così trouata la circonferenza XQV del diametro minore YV del cono WAV : ti sot trarà dalla circonferenza BTC del diametrº maggiore BC, e poi ?i multiplicherà la ci: conferenza minore VQY per la differenza de semidiametri, e ?i farà vin rettangolo, che ?i multiplicherà per la metà dell'altezza Si , e quello ne viene sarà ilri" prodotto. 178; Dà poi ?i multiplicherà l'i?te??a altezza Is per la differenza delle circonferenze, e que ?to numero proueniente dà que?ta multiplica tione, ?i multiplicherà di nuouo per il terzo della differenza XC de semidiametri, e que ?to secondo prodotto ?i congiungerà col pri mo prodotto, e la somma sarà egual e alla por. tione OSZ , e que?to ?i raccoglie dalla prop. 38. e suo Corollario del tratt 34- vmito col Coroll. I. della prop. 29 dell'Appendice al no?tro Euclide. Che se ?i vole??e la maggiore parte OZPC,?i trouerà l'area del circolo maggiore Bl C, che pa??a per il mezzo, e ?i multiplicherà per l'al tezza IA; ?imilmente tronata l'area del circo lo minore del cono inscritto YQV, ?i maulti plicherà per il terzo dell'altezza A , e que ?to prodotto ?i sottrarà da quello, é il re?i duo sarà la solidità della portiene più grande BZ DC , che re?ta verso il centro della sferoi C BSTC a - - P RoP o si rio NE 3 Oa Cognoscere la solidità d'wna mezza sferoide che habbi per base vn Ellip?i, e sue parti. Que?ti corpi per anche non sono ?tati ri dotti ad alcuna cubatione da veruno , ma io nel Coroll. 3 della prop 37. e più ampia mente nella prop. 22 e 23. dell'Appendice al no?tro Euclide hò hauuto fortuna di cubarli, dalle quali catteremo prima vna regola, che seruira per il tutto, e poi vin'altra, che ser uirà anche per le parti . Sia dunque BDC vn Ellip?i, e BAC anco ra, le quali tormano vin corpo peresi" 179 - Elliptico, si troui prima l'area, e superficie dell'Ellip?i tutta BDC,e que?ta ?i radupplichi. Hi-M A le - • C rT N - . . E D Indi?i multipliehi peril terzo di TA, e quel numero, che nasce dalla multiplicatione del piano dupplicato di tutta l'Eliipfi BDC per il terzo di iA semia??e, sarà il sodo della se misferoide Elliptica BAC, come prouo alla prop 23. nell'Appendice. Si può far anch'in vn'altro modo, Sc è tro uar il sodo d'vn quarto d'una semisferoide dell'i?te??a altezza, la cui base circonscriua l'Ellip?i, & habbi i lati eguali alli a??i, come ADCI E, della cui base TDEC l'area ?i deue anche inue?tigare, ?i come il quarto della det ta Ellip?i DTA, e poi vsando la regola del trè dire: se T CDE rettangolo mi dà il quarto dell' Ellip?i DTC, che mi darà la solidità AT DCP ? e quello , che neverrà, sarà la solidi tà della quarta parte della semisferoide, co me prouo alla prop. 22 dell'Appendice. Anzi come ?i raccoglie dall'i?te??a prop. l'i?te??a regola potra scruir per le parti, e tro g uata la sodezza della portione AMLOI d' vna sferoide, che habbi la sua base circon scritta all'Ellip?i dell'i?te??a altezza, e troua ta l'area del rettangolo LMOI base della M 2 portio ine MLACI, & il quarto LOM dell' EI i" base della sferoide LM PA , ?i cercherà con la regola delle proportioni, se il rettan golo MLQI da il quarto dell'Ellip?i LMo, che darà la sºlidità della descritta portione quadrata Al-M19 e quello, che dalia regola risultarà sarà il sodo della data Portione ML OA della sferoide. ' - - C A PITO LO 6. Delle cubationi delle Conqidi paraboli che, & Iperboliche. - - - Quì pur anche non solo con Archimede hò trouata la solidità delle Conoidi Para boliche, c Iperboliche, e rette, e oblique, le quali ?iano po?te sopra ba?i tonde, ma an che quello , che ?in hora niuno ha fatto, ancorche ?iano po?te sopra ba?i Elliptiche, e benche que?ti corpi rare volte Venghino in vso nelle fabriche, pur perche talvolta po? ?ono occorrere, è nece??ario dar le regole per misurarle, e trouare la loro solidità Corpo dunque Parabolico è quello , che nasce da vma parabola, che gli dà il modello, la cui figura, che cosa ?ia habbiamospiegato di sopra - e perciò se ?i taglia a piombo dalla sua cima, fino alla base quella segatura es Primerebbe vina parabola , e l'i?te??o ?i dica d vn corpo Iperbolico. - a PR o Pd sit IoNE 31. Troºar la sodezza d'wn corpo parabo lico, retto, è ºbliquo, la cui base ?ia circo lare, e sue parti. - Sia - - I Sia dato vin corpo parabolico acia cui ?i figuri e??er descritto vn cono ACB, la cui base ?ia AfiB, l'i?te??a, che del corpo pa rabolico. - - Misurato dunque il diametro AB, ?i troui con quello la superficie del circolo AHB, e fi parti per mezzo, 6 vma parte s'aggiunga all'i?te?a area - - º .Indi?i misuri l'altezza - C di que?to cono normale CT» & il terzo di que?ta altezza , multiplichi la somma dell'area del cir colo, e della sua metà, & il prodotto di que?ta multiplicatione sarà il sodo del corpo parabo lico, che ?i de?ideraua , come prouo con Archimede alla prop. 34. tratt. 34. E que?ta seruirà per le parti ancora, e??endo che nella Parabola la parte ha l i?te??e proprietà, che il tutto, e se ?i confidera da se sola è vina intie ra, e perfetta parabola: Io dò vn altra cubatione del Conoide pas rabolico alla prop. 35- tratt. 34 P RoPosITIoNE 32 º - - - - saper la solidità d'vna Conoide parabo lica, e sue parti ?ituata sopravna base Ellip IIC3 e - - Sia data l'i?te??a figura, e presupponiamo AHB ?ia vn'Ellip?i per cubarla, ?i trouerà l'- area dell'Ellip? AHB, e poi pattendola come prima per mezzo, ?i aggiungerà la metà di a?ia al numero dell' i?te??a Ellip?i , e poi ?i M 3 - - - - multi 122 multiplicherà per il terzo dell'altezza TC, e sarà quello, che nasce dalla multiplicatione, il sodo del dato corpo parabolico ACB po?to sopra l'Ellip?i AHB , come prouo prop. 35 tratt. 24 del no?tro Euclide e - Se vorremo la sodezza delle parti , come d'XCO , fi trouerà l'area d'wh'Ellip?i, il cui semia??e maggiore fia/MB, & il minore LN. ?in là doue taglia il triangolo ma??imo ACB nell'i?te??a altezza della settione XO , e di que?ta ?i prenderà la metà, e ?i aggiungerà all'i?te??a base Elliptica ritrotrata e poi tutta la somma dell'Ellip?i predetta intiera, e sua metà ?i multiplicherà per il terzo dell'altezza normale LC, e quello ne nasce, sarà il sodo della de?iderata portione XCO, come prouo alla prop. 23- della no?tra Appendiee. PRO P O SI TI O N E 33. Trouar l'area d'wna Conoide Iperbolica,la cui base ?ia circolare, tanto retta, quanto obliqua, e le sue parti, di cui ?ia noto il dia metro trauerso - Sia vn corpo Iperbolico MNP, e tutto, è vna parte di e??o, o retto che ?ia, è obliquo, che non importa, la cui base ?ia circolare M TN. si trouerà la sua corpolenza à que?to modo, Prima ?i troui il piano del circolo MTN, e trouato, o dato l'a??e RP, e l'a??e, è diame tro trauerso (che così da Mateuatici s'appel: la) PQ, prima ?i multiplicherà MTN area del circolo per il terzo dell'altezza XP, e ?i farà il cono inscritto MPNT, e poi ?i prenderà ridotto in vina somma RP, & PQ , & a que?ti s'aggiun - - 183 - - - º s'aggiungerà la metà PO del diametro trauer so PQ, e poi adoprando la regola delle pro Portioni, ?i dirà , se Q , RP diametro in?ieme - O con PO diametro tra AP uerso danno RP dia metro, PO diametro di e??o trauerso, - M "i eo, il IVI rrº trouato MPNT del - - cono inscritto, e darà la regola delle pro portioni , la sodezza dis?iderata di tutto il corpo Iperbolico MPNT, è d'vna parte che fia , come prouo alla prop. 3o tratt. 34. Si º potrà anche fare, come prono alla propo?i tione 31 32 e 33. a que?to modo. , D Sia dato il corpo Iperbolico ATBC col suo a??e TV, e trauer so TD. Si trouera la solidità del pezzo BA NM del cono ABD, che finisce in D e?tre mo dell'a??e fatto sù la base, e circolo A CB del corpo iperbo lico alto , quanto è l'i?te??o corpo XM, e co?i la solidità del Ci lindro MNO, e que?ta solidità ?i cauerà da quella del pezzo di cono, & il re?iduo sarà la i" de?iderata del corpo Iperbo lico P AC. - - Si potrà anche ottener l'i?te?o in altro mo do multiplicando la differenza de semidiame tri TM , OA con la circonferenza di sopra º 4 MLN - 134. MLN, e que?to prodotto per l'altezza MX, e poi il terzo della differenza delle circonfe- . renze maggiori ACB sopra la minore MLN multiplicarla per la differenza de semidiame tri TM da OA, e que?to multiplicato, di no uo multiplicarlo per l'i?te??a altezza MX , e di tutto que?to farne vna somma , perche ue?ta sarà la corpolenza del corpo Iperbo co» è pur sue parti. e Ro Pos1T IoNE 34 Trouar la corpolenza d'wna Conoide Iper bolica ?ituata sopra vna base Elliptica, è ret ta, è obliqua. - - Sia MTN la base Elliptica della Conoide MTN, e di que?ta Ellip?i ?i troui la superfi cie, ?i come del rettangolo MY, che la cir cóscriue.Indi ?i troui la corpolenza della Co noide iperbolica MVY fituata sopra il ret tangolo MY, come habbiamo detto di sopra. VIST >-- N T E poi adoprando la regola delle propor tioni; ?i dica se MI, rettangolo circonscritto dà la MTN, Ellip?i, che darà la solidità della conoide iperbolica rettangola MVI, e darà il sodo della conoide iperbolica elliptica MT fNV, e l'i?te??o ?i farà delle parti, ciò prouº nella no?tra appendice all'Euclide prop. 28' -. CAP 185 CAPITOLO 7. Della corpolenza delli anelli. Hò à lungo trattato della corpolenza delli anelli alla prop. 2o tratt. 34. mà più ampia mente nella no?tra appendice all'Euclide no ?tro,de quali la cubatione,che io sappia non è ?tata per anche ritrouata da alcuno, 6 è non sol del tutto; ma anche delle parti, come me i" quì le regole e?tratte dalla detta appene 1CC e - - - PRO POSITI O N E 35 : Dato vn'anello circolare, la cui sagma, o modolo, che lo forma ?ia circolo, o ellip?i, è figura qualunq; rettilinea, o semicirua, che habbia??e, trouar la sua solidità. Sia dato qualunque anello circolare, la cui settione, è modolo, da cui è generato ?ia qua lunque figura, purche habbia??e, cioè che ?i po??a diuidere per il mezzo da vna perpendi colare al suo piano, e separare le parti, vina che re?ti verso il centro, l'altra verso l'e?ter no in superfici vguali, come è l'ABCD, che dalla linea normale al piano DE, ?i può diui dere in parti eguali ABD, e BC2. Quindi é, che anche le parabole, l'Ellip?i, i triangoli retti, e tutte le figure rettilinee perfette, e che con?tino di lati eguali frà loro, i circoli, l'El lip?i po??ono formar anelli, che con que?ta regola sola ?i potranno misurare, come pro uo nella prop. 32 e suoi Coroll. dell'Appen dice al no?tro Euclide. Si misuri la circonferenza del circolo BT H, che camina per il mezzo tra A, e C, e pa??a Per - - 186 per la linea Dl, e trouata l'area della figura ABCD, che dà il modello all'anello ABFE, que?ta i?te??a superficie d'ABCD, ?i multipli chi per la circonferenza BTH, già misurata » e quello,che se nè genera sarà la corpolenza dell'anello ABFE. E in quanto alle sue parti, le quali ?iano se gate dalle mede?ime superfici ABCD, se nè otterrà la sodezza, come mo?tro prop. 33. della cittata appendice, se ?i multiplicherà l' i?te??a superficie ABCD, per l'arco del sopra detto circolo, che le misura, per e?empio per hauer la solidità della portione dell'anello A BTQCD, ?i misurara l'arco BT, e trouata la superficie ABCD, ?i multiplicherà per l'ar co predetto, e nè verrà la solidità del pezzo dell'anello ABTQCD. ra Q P O SIT I O N E 36. Trouar la quantità della sodezza delle portioni interiori, 8 e?teriori d'vn anello, Per ritrouar la portione interiore d'vn anello tondo, 8 anche l'e?teriore, non biso gna altro, se non saper la differenza, S. in che sapera l'e?teriore la portione interiore, e per che prono alla prop. 34 dell'Appendice cit tata e??er que?ta vn'ongia cilindrica,la cui bas se ?ia il semicircolo GMHL, dellas" dell' - - 137 dell'anello, la cui altezza ?ia la differenza i che vi è trà il circolo interiore CA, e medio BSV, è trà il medio BSV, & e?teriore NO, pe rò bisognarà prima trouar due di que?te cir conferenze, per e?empio l'e?teriore NO, e la media BSV, que?ta sottrarla dall'altra, e ser uare da parte la differenza; Di poi ?i multipli cherà il semidiametro del circolo, con cui ?i forma, e gli dà la gro??ezza,per la metà di se ?te??o, e que?to prodotto ?i multiplicherà per la differenza delle circonferenze predette, vn terzo di e?ta,e que?to numero, che ne vie º me, dupplicato, è la differenza solida, con cui supera la parte e?teriore l'interiore ; Fatto dunq; il conto di tutta la sodezza dell'anello». que?to numero, che l'esprime ?i diuiderà per mezzo, e per far la portione e?teriore s'ag giungerà la differenza solida, ma non duppli cata, con cui supera la metà, e per far l'inte: riore gli ?i leuarà. E i Gli altri anelli, li cui modoli ?iano figure rettilinee ?i potranno diuidere in diuer?i, anelli partiali, o quadri, o triangolari , e di que?ti farne il calcolo, e co?i saper non solo la differeza dalla parte interiore alletiers PIl - 133 irrtà anche di cia?cuna saperne la quantità an che se bene non fo??ero anelli perfetti, ma por tioni di e??i e le circonferenze ci cui s'agiro no non fo??ero finite, se bene non fo??ero cir confeenze circolari,ma ouali,ò Eliptiche. Dunq; come ?i vede nella figura ABCDE JFVG il modolo ABCD, ?i diuiderà con delle erpendicolari in triangoii, è in quadrati, è in rettangoli, i triangoli faranno anelli tri angolari, 3 i rettangoli quadrangolari; i tri angolari saranno di due modi,perche in e??i è la superficie à piombo guardarà verso il cen tro,come nel triangolo A 2.3 nel quale la 2.?. re?ta verso il centro Q, o la superficie à piom. bo sarà verso le parti e?teriori, come è nel tri angolo 6. t. C, la linea a piombo 6.4. e tutte que?te trè sorti d'anelli ?i misurrono diuersa mente, onde daremo le misure di ciascuno fondate nelle 29. e suo Coroll e nella 3o. della no?tra Appendice. - E prima l'anello triangolare, che ha la su erficie perpendicolare, che guarda verso i" ?i misurarà co?i. Prima ?i sottrarà il semidiametro CQ, dal Q 6. e ?i multiplicherà il re?iduo dalla sottra tione per la metà dell'altezza perpendicolare 6-4 sc - - 189 - 6.4. e que?to prodotto per tutta la circonfe renza minore C ! G, e que?to sarà il primo prodotto. Da poi fi multiplichera la differen za delle circonferenze maggiori 6. T 8- dalla minore CTG, per il terzo dell'altezza 6-4- e que?to numero generato ?i multiplicherà per la metà della differenza de semidiametri, e que?to sarà il secondo prodotto, che s'vnirà col primo, e tutta la somma sarà la corpo lenza dell'anello, che ?i richiede c. 9.4-8 IG Secondo il sodo dell'anello triangolare, che hà la superficie normale, che guarda ver so il centro ?i trouerà co?i. Si sottrarà il se midiametro Q 3. minore dal maggiore QA, e que?ta differenza A 3. ?i multiplicherà per la circonferenza minore 3.7. 9. e que?to numero º che se nè genera ?i inultiplicherà per la metà dell'altezza 3.2. come prima,e que?to sarà il primo prodotto. Di poi il terzo della diffe ; renza de semidiametri 3. A , ?i multiplicherà per l'altezza 3.2.e que?to numero,che ne nas ce ?i multiplicherà per la differenza della circóferenza maggiore, dalla minore ciò A 7. F da 3.7.9.e que?to sarà il secondo prodotto,il quale s'vnirà col primo, e la somma, che ne risulta sarà la solidità dell'anello A 3.2. VF 9. de?iderata,e aque?ti due modi ?i potrà misurare la scarpa de muri tondi, è ?ia interna, è e?ter: l na,e le sue parti. - Finalmente se il modolo dell'anello sarà quadrato comè 6.3.24 dell'anello 3.4. 1.9- ?i procederà a que?to modo. Sottrato il semidiametro Q 6. dal semidia metro maggiore Q 3, ?i multiplicherà per la circonferenza minore 6.T 8. e quel numero, che ne risulta di nuouo?i multiplicherà per l'altezza - - - -- - - - - # 19e - l'altezza 6.4 e que?to sarà il primo prodotto. Da poi ?i sottrarà la circonferenza minore 6. T 8, dalla maggiore 337.9 e la differenza ?i multiplicherà per l'altezza 6.4 e que?to nu mero, che ne viene fuori ?i multiplicherà per la metà di 3,6 differenza de semidiametri, e que?to sarà il secondo prodotto, il quale sv: nirà col primo, e quella somma, che ?i fà, sarà la solidità dell'anello quadrato 3 4 1.9 C A PLTO LO 3. Delle sodezze de corpi spirali. Que?to corpo non è ?tato ridotto alle mi- . sure cubiche da alcuno, 8 io non senza gran faticha con l'aiuto di Dio l'ho cubato nel no?tro Eucl, nell'espen?ione 9. dell' tratt- 34° e quì ne daro le regole, le quali saranno Inol to facili, e piane, PR OP o SIT Io N E 37. Trouar la sodezza d'wn corpo spirale, e sue arti vgualmente alto.. - Sia dato il corpo spirale ACBDFE, e ?i vo gli saper la solidità, di cui con?ta, ?i trouerà l'area spirale DFECD, come habbiamo inse gnato nella I. parte prop. 16, E que?ta ?i multiplicherà per l'altezza DA, la quale an corchc l'a??e FC fo??e obliquo,sempre ?i pren derà perpendicolare, & il numero generato darà la sodezza del corpo di base spirale egualmente alto: E 'i?te?, 191 - l ., E l'i?te??o ?i farà di qualunque spira secon da e terza, è qual ?i ?ia altra, anzi di qualune l ºe Ftse si ?i º D , q;segmento perche trouate le superfici; della base, sépre ?i multiplicherà per l'altezza nor male di e??o corpo, è segmento, 6 il nume ro, che mè nasce sarà il corpo spirale ?ituato sopra la seconda, e terza spira, o qual ?i ?ia Suo segmento. - - - P RoPosITI o N E ss, Trouar la sodezza dºvrº corpo, che ?ia spi rale, solo in quanto all' altezza. Sia il corpo spirale OR, QN, PM , che ?i auolga attorno all'a??e 1X ; Trouata la base del circolo M TSV, que?ta ?i multiplicherà per la metà dell'altezza MO presa se non fos se perpendicolarmente alla base, 6 il nume rogenerato sarà la solidità del corpo, che ?i richiede, - Che as -r 192 «Che se s'auolge non attorno all'a??e, ma attorno vin cilindro, come è RX , all'hora ?i is io S Vl ? «S NS V tróuarà la base di quel Cilindro, e que?ta ?i multiplicherà per la metà dell'altezza PR presa perpendicolarmente, 6 il numero ge nerato ?i sottrarà dalla sodezza poco fà ritro uata del corpo spirale OR, QN, MP, e re-. ?tarà solo il corpo, che s'auolge attorno a quel Cilindro. PRO POSITI O NE 39. Trouar la sodezza d'vn corpo spirale di base, e d'altezza, che s'agiri con la prima spira. - Sia dato il corpo spirale, che in altezza de scenda per AEVLFD, come nella figura pro po?itione 37, la cui base ?ia anche spirale D OEFD, e di que?to ?i cerchi la solidità . La rcgola cauata dalla prop. 59..Coroll. del tratt. 34 sarà di trouare prima l'area del circolo , che comprende la spira DNM, c que?ta multiplicarla per l'altezza presa per pendicolarmente, come AD, & il numero, che - . 193 º che da que?ta multiplicatione ?i produce i l s diuiderà in 18 parti, e di quelle se ne pren deranno cinque, e que?te cinque parti fa - ranno la solidità , che ?i ricerca del corpo spirale AEVFD. Mà se fo??e la seconda spira, che ?i auol ge?e entro ad vn circolo, il cui semidiame tro fo??e al doppio di quello della prima spi ra, all' hora l'i?te??o numero, che nasce dal la base circolare multiplicata nell'altezza del cilindro, ?i diuiderà in 1e8. parti, e di quelle se ne prenderanno 49 e que?to sarà il corpo spirale della seconda spira, il quale s'inten derà collocato sopra l'anello piano, che cir conda il primo circolo, S. auolger?i attorno al cilindro collocato sopra l'i?te??o primo circolo, come alla prop. 6o. tratt. 34. Coroll. del no?tro Euclide. - Mà per render più viniuersale quella pro po?itione da lei cauo que?ta regola - Sia il dato corpo BONHC, che s'auolge attorno ad vn circolo VT di qualunque base circo lare, ?ia il diametro lº s doppio del diametro I V, è nò conforme e??er ?i voglia, - O Si sottraga il semidia metro IV, che ?ia per e??enmpio 8, dal semidia metro IB, che ?ia 3o. e Cº-I re?terà 22. il qual nume VI ro ?i diuiderà per mezzo, e sarà i 1. e di que?to ?i prenderanno due terzi 7. -, & à questo vinº rà la metà del semidiametro 1V , che è 4 º N sara º \ 194 v sarà tutta la somma 11. -- S'vairà pur anche il semidiametro IV parti 8. con la metà d'WB di parti i 1. e ?i farà 19. e da que?to sottratto 11. , re?tarà 7. ;-, de quali ?i prenderà la metà 3. -, e s'vnirà con gli altri i 1. -, e farà 15. -, e que?to numero, e l'altro 19. ?i con seruarà. - Di poi ?i trouarà la base spirale CHN per la prop. 16. della 2 parte di que?to, e ?i mul tiplicherà per tutta l'altezza, e que?to multi plicato ?i aiuiderà per il trouato numero 19 & il quotiente, cioè quel numero, che nasce da que?ta diui?ione ?i multiplicherà per l'al tro ritrouato nnmero 15. -, e quello , che prouiene da que?ta multiplicatione sarà la solidità del corpo spirale BoNTCH auitic chiato attorno al cilindro VI - Que?ta regola è vniuersale, e può seruire per qualunque corpo spirale di qualunque spira , e benche immediatamente non ?ia ptouata da me, pur è fundata sù l i?te??a pro po?itione 6o del no?tro Euclide. E ?i raccoglie da e??a, perche colà dimo ?triamo la proportione, ch'hanno trè pro gre??ioni aritmetiche, in cui di?tinguo il cor po spirale mancante in altezza , a due pro gre??ioni del corpo spirale equialto la prima delli anelli, eguali al minimo circolo VI, che manca da vma parte, e però per la metà di se, la seconda delli anelli, che sono des critti in B V trà l'vno, e l'altro circolo, che mancano vn terzo di se, e però di BV prendo due terzi, e della metà pure due terzi. La ter za, e di quello re?ta dettrato ciò del corpo spirale equialto, il quale re?ta di?tinto in due Progre??ioni l'Vna, che nulla manca delli anelli, - 195 º anelli d'WI , e però prendo tutto VI l'altra i descritta in BV, che manca la metà di se, e a però prendo la metà di BV per far tutte le due i progre??ioni del corpo spirale equialto, da i cui dedotte le prime due,per le trè progre??io º ni, che mancano la metà di se prendo la metà del re?iduo, e co?i ho tutta la proportione, che dice il corpo spirale descendente al cor º po spirale equialto , che e??endo di varij g anelli ben ?i esprime ne diametri per la 45. del tratt. 1o del no?tro Euclide. Onde saputa s la proportione dell' vno rispetto all'altro è trouato il corpo spirale equialto per la re º gola del trè ?i troua l'altro descendente. º CAPITOLO 5. i Delle Mette concaue, e globose. a L'vltimo genere di corpi, li quali ?iano dà li superfici curue circondati, e di qualche re i golarità dottati sono le Mete, le quali anti camente seruiuono per segno alle carriere, e 3 doue haueuano da terminar il suo corso, e ben che quelle fo??ero sempre globose, e ton º de, nulladimeno ?i po??ono di?tinguere in due . specie, l'Vna diciamo globosa , che ha per i modolo della sua elleuatione vina superficie compresa da due portioni di circolo, è di a Ellip?i, e terminata da vna linea retta, come º ABC, che gli serue per base, l'altra pure di o due archi di circolo, è di Ellip?i compresa, 3 mà volti al contrario TSM, e però la chiamo i concaua, le quali potranno intender?i col º locate sopra ba?i quadrangole, e diran?iqua i drangolari, è sopra ba?i circolari, e diran?i i circolari, e di que?tesº sorti di corpi l 2 l inten 196 intendiamo darne la cubatione. PR o P O SI TI ON E 4o. Trouare la solidità d'wna ottaua parte del la Meta concaua quadrata. La Meta concaua quadrata , chi ben la con?idera, non è altro, che otto mezze Lu nette voltate con le ponte in sù , come prouo alla prop. 45. tratt. 34 del no?tro Euclide - Sia dunque data la metà d'una tal Meta ABC, la cui normale ?ia EA, dunque la sua LABE quarta sarà la metà d'vna Lunetta X ZYV, & il suo sodo sarà dell'i?te??o corpo, che la chiude, e l'inuolge. Si trouerà dun que la sua solidità all'i?te??o modo di que?ta ottaua parte, che della metà del corpo, che chiude la Lunetta prop. 19 di que?ta parte, e poi ?i multiplicherà per otto, e sarà la Meta COIl Catl2 e ; E l'i?te??o ?i fara delle sue parti AT , che della parte VN della metà della Lunetta mede?ima, PR O POSITION E 41. - Trouar la solidità della Meta concaua , circolare, Elliptica, è poligona regolare. Habbiamo prouato alla prop. 56: del no ?tro Euclide, che ha l'i?te??a proportione , urche ?ia dell'i?te??a altezza normale la i" concaua quadrata alla citcolare, come la base quadrata al circolo inscritto : O come 197 O come il rettangolo all'Ellip?i inscritto, che ?e fo??e figura rettilinea regolare,ò di lati tutti eguali “ è alternatamente eguali inscrit ta in quella quadrata, o rettangola la Meta concaua quadrata sarà alla Meta poligonas some il quadrato al poligono. Q. - s R. T - Però sarà nece??ario per ritrouar la sodez za d'vna tal Meta prima trouar la solidità N 3 della - 198 della quadra, è rettangola BAC , di pci l' e?tentione della sua base BC, indi la super ficie della base circolare, è poligona, o El liptica RTS, e poi seruendo?i della regola delle proportioni, ?i dirà, se BC quadro,o rettangolo dà RTS base inscrita , che darà la solidità BAC, e darà la Meta concaua R QST collocata sopra la base RST poligona circolare, è Elliptica inscriptibile nel qua drato, è rettangolo BC. E que?ta regola , che serue per il tutto, doura egualmente seruir per le parti, purche ?iano dell' i?te??a altezza, e se?to & vna base ?ia inscriptibile nell'altra, e regolare come habbiamo detto. Trouata la superficie della base ITO , e della base DR , e la solidità della portione della Meta TAOI, ?i dirà se TOI base dà K D base inscritta, che darà la solidità TAOI? e darà Dº K. Et auuerti, che cio tutto s'in tende, purche la Meta circolare ?ia fatta su l'i?te??o modolo, che la Meta quadrata, e BAG ?ia l'i?te??o triangolo mixtilineo, che RSQ : PRO P O SI TI ONE 42 . Trouar la solidità d' vna Meta globosa circolare. All'i?te??o modo ?i trouerà que?to corpo, che habbiamo trouate le sue superfici, co me habbiamo notato nel preludio di que?to libro. - Si 199 . Si treui la scidezza della f": MPS. HL della semisfera PVM dell'i?te??a altezza, i cui archi ?iano fatti con l'i?te??o semidia metro, che gli archi della data Meta glo i ; 4 . bosa RAC), che ?i deue misurare, e ?i troui la superficie del suo ma??imo circolo PSM , ?i come la superficie del circolo RNQ, che ?tende la base alla Meta globosa RAQ , e poi ?i dica adoprando la regola delle pro portioni, se il circolo RSM ma??imo della semisfera , è sua portione LM dà il circolo º RNQ, che darà la scdezza della mede?ima portione LM ? & il numero, che nasce dal la regola delle proportioni sarà la solidità della Meta, che ?i de?idera - Che se fo??e quadrata , è rettangola , è Elliptica la Meta RAQ , ?i dourà trouar la solidità d'wna portione di sfera quadrata, è " dell'i?te??a altezza , ma ?i deue offeruare nelle ba?i Elliptiche, è rettangole, che l'Ellip?i, è rettangoli sopra cui è collo cata la portione della sfera ?iano dell'i?te??a proportione , ilche succederà nell'Ellip?i, se il rettangolo , che la circonscriue ?ia proportionale, e i rettangoli saranne pro portionali, se i lati "nº proportio 4 - In C 200 ne frà loro, 8 il lato più lungo d'EQ , che circoascriue la figura RN Q ?ia al lato suo più corto, come il lato più lungo, che cir conscriue la figura PSM al lato suo più cor to per la deff. i. tratt. 1o. Anzi con que?ta conditione vale di qualunque altra figura, purche gli archi PL, AR, AQ , HM del circolo, o di qualche Ellip?i tanto della Me ta , quanto della portione della sfera ?iano gli ?te??i, e collocati nell'i?te??o modo. E que?to ?i dice del tutto, ?i dice anche, e s'intende con l'i?te??a conditione delle parti. C A PITO LO Io. Del misurare tutti i corpi vacui di dentro, è di serie infiniti. Que?ta propo?itione è quella, che le prece denti applica alle operationi, perche qua?i non ?i dà corpo da misurare , il quale ?ia tutto pieno, e ma??ime nelle Volte le quali sono per la maggior parte sfere rettilinee di base; ma vote di dentro i però se bene nelle precedenti habbiamo toccato il modo di mi surare qualche corpo vacuo, però come ciò deue poter?i applicare a tutti i corpi, come che qualunque po??i e??er tale , habbiamo differito ?in hora il trattarne . Si po??ono dunque misurare in due modi i corpi vacui. L'vno è misurandoli come superfici, l'altro come corpi, S& di ambidue que?ti modi da temo le regole e - PRO 2oi PR o PosITI ONE 43. Misurare i corpi vacui di egual gro??ezza per ogni parte, come superficii. - Quando ?i misura vin corpo vacuo al mo do di superficie, ?i deue misurare ne la su Perficie interna, ne e?terna , ma la media, trà l'Vna, e l'altra, e que?ta multiplicarla con la gro??ezza, e ne verrà la solidità del corpo vacuo, poiche in ogni corpo conca uo e??endo più breue, e con?tretto l'ambito interiore, che l'e?teriore, se ?i multiplicherà per la superficie interiore la sua gro??ezza darà il corpo meno del vero, e se per l'e?te riore più del vero. Douerà dunque multi plicar?i per la superficie di mezzo , acciò quella superficie multiplicata per la sua gro??ezza dia la vera corpolenza del corpo COI1CallO e - - - - - - - - - - - P. B - Per e?empio fia EALN vacuo in mezzo, e ?ia AC palmi 12 CD palmi 18. AB palmi 3 la sua gro??ezza palmi 2. & per ciò il lato OI interno palmi 4 NO palmi 8. Per la prop. 1a parte 2. le superfici tutte e?teriori faranno palmi : O2 palmi quadri 72o. che multiplicate con la sua gro??ezza palmi 2. daranno palmi cubi 144o. Le superfici interne sono palmi 432 per l'i?te??a prop. e multiplicate per la sua gro??ezza sarebbono so i conti ambidue fal?i. come con?terà nella seguente: bisogna dun i prendere la superficie media puntata » alla quale ?i ottengono i lati, sottranendo l'interno dall'e?terno TV da AC, & IT da C M, & aggiungendo al minore la semidifferen za dall'Vno all' altro, e co?i il lato pontato medio, tra VT, e AC, sarà palmi 1o. il lato ontato medio, trà TI , e CM palmi 6. & il ato CD palmi 18. Per ilche tutta la superfi - cie media pòtata sarà palmi 576. che multipli cata cò la gro??ezza p. 2. da palmi i 152.e tale è veramente la corpolenza del Pila?tro vacuo DBE A, & auuerta?i, che la superficie, sopra cui ?i misurerà la gro??ezza, come è la DEF PLON non ?i con?idera mai in que?to conto. PR OP O SI TI ON E 44. Mi?urare i corpi vacui di egual gro??ezza per ogni parte come corpi, per via di ?ottra tIO IlC e sia il corpo vacuo quale nella precedente DFE A, che s'habbi da mi?urare. Si mi?ura rà prima come se fo??e tutto pieno per la pro po?itione I. di que?to, e perche AC è palmi 12 e AB palmi 8 l'area sarà palmi quadri 96, che multiplicata con l'altezza palmi 18. da palmi cubi 1728. Da poi ?i mi?urerà il vacuo, C ome se fo??e pieno, e perche IT è palmi 4. VTPalmis: la base sarà di e?tenrione piana palmi 32. che multiplicata con l'altezza pal mi 2O3 mi 18 ?i farà il vacuo mi?urato, come se fo?º se corpo palmi cubi 576. ?i sottrarà dunque que?to vacuo dal pieno precedente 1728. e re?terà il pila?tro voto palmi cubi 1152. come prima. E que?ta propo?itione , ?i come la precedenre è commune a tutti i corpi vacui; onde ?i potrà adoperare in ogni sorte di cor po, di cui in que?ta terza parte habbiamo da to le regole di mi?urarli. PROP o SI TI o N E 45. Mi?urare vna serie infinita di corpi decre ?centi con proportione Geometrica dati i due primi corpi. Già nella prop. 18. dalla prima parte ho | spiegato qual ?ia la proportione Geometrica a Hora se fo??e data vina fuga , & ordine di cor ro diminuendo geometricamete ?ino bene all' º pi, come AX, i quali è poco a poco s'anda??e vltimo niente, se fo??e po??ibile, e ci fo??e ordinato di misurare quella serie di corpi, Si li- Q I. GrTE º mi?ureranno i lati BA piedi 16. 6 BC 3. de due primi corpi AM, BN, & a que?ti lati BA 16, & BC 3. ?i trouerà il terzo groportº cº | 204 le, multiplicando il lato BC di piedi 8 perse ?te??o, e farà 64. e poi diuidendo que?to nuº mero per 16. e darà 4. Et di nuouo alli due 3. e 4 all'i?te??o modo ?i trouarà vn terzo proportionale,che sarà ti e que?to ri?petto a due primi 16 & º. sarà il quarto proportionaleBI,il quale ?i sottrarà da BA primo lato, che è palmi 16i e re?terà 14 Dirai dunque con l'aiuto della regola delle proportiori:se 14 da 16. che darà l'i?te??o i 6. e darà 1s. e ,s, se dunque i corpi saran no cubi, come nella figura, o pila?tri, ba?te rà multiplicare 18. e º, per il latto BA , e farà 292; e a, e poi di nuouo per l'altro co giunto a que?to in A, che ne corpi cubi è pur anche 16 e farà 4685. piedi cubi : e que?ta quantità sarà eguale alla serie AX. Se poi fo? se qualche altro corpo, che non fode cubo, ne a modo di pila?tro ?i farà così Si mi?urerà il primo corpo, il quale per e?empio ?ia di corpolenza palmi cubi 1248 e poi co l'aiuto della regola delle proportiºni ?i dirà se il lato AB piedi 16. dà il lato AH piedi 1s. ,', che darà 1248. & il numero che ne viene sara 14o4. 4, e que?ta quantità sa rà eguale alla serie infinita AX de corpi de cre?centi con geometrica proportione, de quali il primo termine fo??e di corpolenza pal mi cubi 124s. & haue??e vn lato di Palmi 6. ?i come il secondo di palmi º come Prouo Prop. 52 tratt. 35 del no?tro Euclide: 2o5 A PP E N D I CE I. Di ridurre la superfici piane à varie so dezze. - Perche nel cap. 4. prop. I 1. del preludio par mi d'e??er ?tato troppo succinto nel ridurre le corpolenze à varie gro??ezze , ho pensato quì darnevn poco più ampia notitia. Si può dunque fare in due modi, è pure calcolar prima la solidità secondo le regole date nella citata prop. 1 1. e poi ridurle ad al tro genere di corpolenze, è pure sù le super fici immediatamente inalzare quei corpi , che più sarà a grado al Misuratore. E circa il primo habbiamo da quella ope ratione Trabucchi cubi, Piedi quadri d va Trabucco gro??i vn piede, onze quadre d'un Trabucco gro??e vin ouza, i quali corpi vo lendoli ridurre ad altre gro??ezze ?i seruaran no le seguenti regole intendendo per il I ra bucco a cui ?i reducono vin Trabucco qua drato, per piede vna quantità larga vin piede, lunga vin Trabucco, ch'habbino però tutti vna i?te??a altezza, è di 1o è di 6 o di quan te onze parerà : mà l'onze saranno di due sorti , l'Vne che chiamaremo Pedali larghe vn piede lunghe vin Trabucco l'altre sempli ci larghe vin onza lunghe vin l rabucco alte ambidue non più, che vn'onza - Redutione in Sodezza. D onze 1o. D'onze 9. Tr.P. o, p.o. Tr. P. o. p. o. Ogni Trab. fà 7 1 a el 3 o o o Ogni piè fà I I 2 Oi i 2 Q O Ogni onza O o 6 º è o 6 O Ogni punto fà e o - oi e o ; o Ridur -. 2O6 Ridurre in Sodezza. D'onze 8, Di onze 6. Tr. P. o. p. o. | Tr. P. o. p.o. Ogni Trabuc. fà 9 o o o | 12 o o o Ogni piede I 3 o o | 2 o o o Ogni onza O O 6 O | O I G O Ogni punto o o º o | o o ; o Per ridurre poi in sodezze d'onze4 ?i pren derà il doppio della redutione d'onze otto, e per ridurre in onze 3. il doppio del ridotto d'onze 6. e ?i vorranno d'onze 12. la redutio ne d'onze 6. ?i partirà per mezzo, auertendo, che dell'onze pedali all'hora ?i farà vin piede quando crescerà il lor numero è tal quantità che eguagli; il numero dell'onze della gro? ?ezza, à cui ?i fa la reduttione l'onze sempli ci poi faranno vin'onza Pedale se saranno 12 & i piedi vn Trabucco se saranno 6. Per e?empio. Sia l'area T. 1. P. 1. on. 1. che multiplicata per la sua altezza T. 1. P. 2. habbi fatto il sodo, Tr. 1. P. 3. on. 5 punti 4 - e ?i voglii sapere , quali sodezze generino d'onze io.?i farà come quì vedi la reduttione. Reduttione T. 1. P. 3. onze 5. p. 4 De Trabucchi 7 I 2 . O De Piedi 3 3 6 o Dell' Onze 2 IO O De Punti 2 o Somma l I 2, O O Mà se l'aree, e superfici calculate, ?i vo le??ero immediatamente ridurre in corpi di determinata " e??empio d onze 1o. è di 8 &c. ?i seruaranno le seguenti rego le intendendo i corpi generati di quelle di mentioni, che habbiamo spiegato in que?ta ifte??a appendice. Calcin - 2o7 Calculare le superfici, e ridurle in corpi. D' onze 12 D'onze 1o. T. P. o. p.º Tr. º, o. p. o. Tr. per Tr. fal Tr. P. o. p. o. Tr. per Tr. fà o O O I 7 I 2 o Tr. per Piedi fà 1 o o o | 1 1 2 o Tr. per onza o o 6 O l 9 o 6 o Piede per Piede o 1 o o | o 1 2 o Piede per onze o o o 6 | o o 6 o Onza per onza o o o I | o o o r D'onze 9. D'onze 3. Tr. P. o. p. o. Tr. P. o. p. oe Tr. per Tr. fà s o o o | 9 o o o | Tr. per Piè fà 1 2 o o | 1 3 o o l Tr. per onza o o 6 o | o o 6 o Piede per piedeo 1 3 o | o 1 4 o Piede per onz o o 1 o | o o 1 o Onza per onza o o o 1 l o o o 1 l r. P. on. Per i" corpi d'e Area di 2 1 1 onze sci , il pro Altezza di 1 2 o dotto d'onze i2. ?i , per 1 r. 12 o o duplicherà. Per far Tr. per Piè 4 o o corpi d'onze qua 1 o 9 tro il prodotto di - Tr; per on. o o 6 8. ?i duplicherà, e Piè per Piè o 2 o co?i per far corpi Piede per on. o o 12 gro??i onze cinque , Onza per ori. o il prodotto di onze , Somma 17TgTCT 1o. Per far corpi Duplic. 35 1 o gro??i on. 3. il pro dotto di 12. ?i quadruplicherà, è pure ?i preme º deranno i numeri doppi , è quadruplichi º nelle predette tauole. ' - l Per e?empio ?iano da inalzar?i sopra l'area di l Tr 2 P. I on. 1. sodezze d'onze 6 in i" VIA 2G8 - d'vn trabucco on. 2. ?i ridurrà in sodezza d' onze 12 à que?to modo che vedi qui a fianco. A PPE N D I CE 2. Nella prop. 31. della 2, parte habbiamo in segnato di trouar la superficie d'vn corpo spi rale egualmente alto solo della prima spira: mà se fo??e corpo della seconda spira ?i sot trarà il circolo minore della base del Cilin dro, attorno a cui s'auolge la seconda spira dal circolo maggiore della base del cilindro, che la contiene, e la metà della differenza, che re?ta vinita col predetto circolo minore ?i multiplicherà per l'altezza del Cilindro spi rale , e sarà la superficie della seconda spira, e in tal modo fi farà anche se fo??e la terza, è quarta, è qualunque superficie spirale. I L FI N E. A P PROV A TI O N E . E OC opus inscriptum modo di misurarle fabbriche a P. D. Guarino de Guarinis Theologo no?tro compo?itum, & iuxta a??er tionem P. P. cui id commi?imus approbatum vt T ypis mandetur, quoad nos spectat facul tatem concedimus,in quorum fidem pre?entes litteras manu propria subscrip?imus, & solito no?tro ?igillo firmauimus. Roma pridie Kal Nouembris 16 64. Carolus Pignatellus Praep Generalis C. R. D. Fr. de Riua Impr. Vic. Gen. S. Officii Taurini. Permittitur imprimi Rocca AP. Generale, BOSCHETTVS. ! IN D I C E D E L PREL V D Io: Doue ?i pongono alcune cognitioni nei ce??arie per ben mi?urare. A" alla radice quadra - 24 Cono scaleno, o obliquo 33 Cono d'ogni base a cui ?ia egualè 33 Cono elliptico, cioè di base ouale 45 Corpo fatto di due portioni di circolo 42 Cubicari piani, e le superfici date 3 e Diuidere i numeri I 5 E??aminar le 4 operationi Aritmet. I8 In?trumento da misurare 48 Leggere i numeri IO Modo di misurar giu?tamente , 47 Multiplicar i numeri - I 3 Proua della radice quadra 23 Quadrar le date misure º5 Regola del trè, è di proportione I Radice quadra 2O | settione obliqua d'vn Cilindro 33- 33 ?i Sottrar i numeri - - I2 Sommari numeri II l - INDICE DELLA I. PARTE 2 - In cui ?i misurono le Superfici Nello piano, e sue parti 66 Circolo, e sue parti - 62. 66. 65 Ellip?i, è Ouato, e sue parti 67. 63. 7o 85 Figura regolare d'ogni sorte 53 Figura irregolare rettilinea 63 Figura irregolare curuilinea 85 lºna piana concaua , e globosa .. 75 Misure ridotte di piccole in grandi 53 S , ouato Ouato descritto, e misurato, e sue parti . 73 Parabola, e sue parti 77 Parabola descritta T 79 Perpendicolare trouata - 56 Rettangolo rettilineo 52 Rombo, e Romboide 6o Spira piana d'ognisorte, e sue parti 79 Serie infinita di figure, 6cc. 86 Triangoli d'ogni sorte , 54 INDICE DELLA II. PARTE . . In cui ?i misurono le superfici de corpi quì annouerati - A" tondi, e di qualunque figura » A e à scarpa: e sue parti . I 27. I 29 Cilindro di varie sorti,e sue parti 89.91 93-95 Cono retto, 6 obliquo,e sue parti 96-99 Fasce piane continenti vna sfera I 23 Luna tonda, o ouata , e sue parti lo7- 12° Giro dell'ottato misurato I 33 Meta concaua,e globosa, e sue parti º24 Ouato tondo o Elliptico,e sue parti i 14- 1 º Piramide concaua, è globosa, e sue parti i 24 Quadrati sù la sfera l 12 Sfera , e sue parti I I I I I 2 - I 14 Sfera quadrata, e sue parti I OI Sfera pentagona a e ie figure , e sue parti i Io3. Io4 sfera quadrata rampante, e sue parti ºi Sfera sopravn Rombo, è Romboide e sue parti . . - 104 Triangoli sferici e IO3 Volto terzacuto, e sue parti 109 Volto à modo di Cilindro 92 Volto à tromba 99 Volto e Volto à crociera, e a Lune Io 7 Volto à Padiglione in vari modi vedi sfera quadrata - IN i) 1CE DELLA III. PARTE . 1n cui ?i misurono i corpi, A" tondi, e d'ogni sorte, e sue parti 185 ?ino alla 188 Cilindro qualunque, e sue parti I 45 Cono qualunque, e sue parti 146 147. Cono concauò in due modi 149 Cono , che finisce in vina linea I 5o Corpo qualunque di superfici piane 136 Corpo regolare qualunqi e irrogulare 141 Corpo di lati retti, e paralleli qualunqi 137 Corpi vacui misurati in due modi 2O2 Conoidi Parabolice, e Iperboliche, e sue parti 1 e 6 ?ino alla 163 Conoidi ?opra ba?i ouate 18 I. I 34 Corpo con?tante di fasce piane, e sue parti - 174 Iperboliche Concidi vedi Conoidi Luna d'ogni sorte, e sue parti I 54 Muro à scarpa 137. tondo 188 Meta concaua, e globosa, e sue parti 197 Monte qualunq; come le Conoidi Ouato tondo, e sue parti I74 Ouato Elliptico, cioè di base ouale 179 Ongia Cilindrica - - - 15 I Paraboliche conoidi vedi Conoidi Pila?tro, e Dado qualunque . 136 Piramide qualunque, e sue parti I 38 Prisma qualunque - - 137 Sfera quadrata, e sue parti 152. 157 Sferoide lunga, e sue parti 159 Sfera, e Steroide obliqua sopra qualunque base - 161 173 arti Sfera tonda, e sue par S 2 Sferoidi, Sferoidi, è vero Ouati, e sue parti 174 Sfere, e sferoidi sopra ba?i ouali, cioè Elliptiche, e sue parti I79 Serie de corpi infinita 2o 3 Spirali corpi d'ogni sorte I4 I. I43 Voltiin vari modi vedisfere, e sferoidi. A' E RT IM E NTO. S I hà d'auertire nella prop. 2o. della 3. par te p. 158. che la metà di quella sfera ret tangola MN TVX,e anche la metà d'vn'otta ua parte d'ottagona se il lato TV sarà la metà d'vn lato d'wn ottagono, e co?i d'vn penta gono, o se?agono, è di qualunqi figura re golare, onde il conto della corpolenza di que?ta sfera multiplicato per il numero de la ti sarà il conto di qualunq; sfera pentagona, se??agona , è po?ta sopra qualunqi figura re golare. Che se la figura fo??e irregolare all'e hora tirata la normale NI dal mezzo N so pra ogni lato di e??a, come TV di TV portio ne d'Vn lato, e l'N normale ?i formerà il ret tangolo NV , e co?i di tutte l'altre portioni di lati, in cui sono diui?i dalle normali, quale è NT, e ?i fara il conto come di tante sfere rettangole, come iui insegno, che saranno al doppio de lati, e di cia?cuna ?i prenderà la metà, e di tutte que?te metà la somma sarà la sodezza della sfera po?ta sopra vina figura ret tilinea irregolare. Auerti ancora,che il secòdo modo di misu rerli pezzi di Piramidi p. 14 i può seruire an che per quei pezzi, le cui ba?i sono ottagone, ò di qualunq; figura regolare, è irregolare, Ausrti ancora, che ogni cumulo, è morte di qualunq; cosa come di Sabbia ?i potra mi urare, come vna Conoide Parabolica, è perbolica - Ba ar . e l - - München i lº : la . --~~~~---- - -, - --- - - - - - - -- - - - - - - - - s - - ) - - - - - - - - s . - a - - - - - - ! - - º - - - - v - - - - ( - - -> - - ? - - - - l - - - v - - - - - - - - - - - - - - - - - - - n - - - - - - - -